14 Demonstre que ci j(xi+yi) zj=ci j xi zj+ci j yi zj

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, na convenção de soma de Einstein (índices repetidos somam automaticamente), que a multiplicação por escalar é distributiva, ou seja,
cij,(xi+yi),zj ;=; cij,xi,zj ;+; cij,yi,zj
Vamos usar apenas as propriedades de distributividade e comutatividade do produto em R.

Passo 2

Começamos pela expressão à esquerda e aplicamos distributividade em (xi+yi):
cij,(xi+yi),zj = l(cij,(xi+yi)r),zj = l(cijxi + cijyir),zj
Em seguida, aplicamos novamente a distributividade do produto sobre a soma interna:
l(cijxi + cijyir),zj = cijxi,zj ;+; cijyi,zj

Passo 3

Reagrupando, obtemos exatamente
cij,(xi+yi),zj = cij,xi,zj + cij,yi,zj,
que é a igualdade que queríamos demonstrar.

Resposta

cij,(xi+yi),zj = cij,xi,zj + cij,yi,zj

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