(Boyce e DiPrima, 8a Edição) Resolva as equações diferenciais abaixo através de uma série de potências em torno do ponto
dado.
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial
através de uma série de potências em torno de
. Vamos usar o método de série de Taylor, isto é, supor
determinar
e
, substituir na equação e obter uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 2
Escrevendo as derivadas série a série, temos
Substituindo em
dá
Passo 3
Reindexamos cada soma para obter potências iguais de
. Na primeira, faça
:
Na segunda,
. Na terceira já está em potências de
. Troque o índice
por
para todas ficarem em
:
Passo 4
Combine as duas últimas somas em
Logo
Como isso vale para todo
, o coeficiente de cada
deve ser zero, gerando a relação de recorrência
Passo 5
A recorrência liga
a
. Isso gera duas séries independentes:
– Para (coeficientes pares):
– Para
– Para
(coeficientes ímpares):
Passo 6
Expressando os produtos:
Portanto as duas soluções fundamentais são
Resposta
A solução geral é