(Boyce e DiPrima, 8a Edição) Resolva as equações diferenciais abaixo através de uma série de potências em torno do ponto x0 dado.
ddoty+t doty+2 y=0, t0=0

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial
ddot y + t,dot y + 2y = 0
através de uma série de potências em torno de t0=0. Vamos usar o método de série de Taylor, isto é, supor
y(t)=sumn=0^inftyan,t^n,
determinar dot y e ddot y, substituir na equação e obter uma relação de recorrência para os coeficientes an.

Passo 2

Escrevendo as derivadas série a série, temos
dot y(t)=sumn=1^inftyn,an,t^n-1,
ddot y(t)=sumn=2^inftyn(n-1),an,t^n-2
Substituindo em ddot y+t,dot y+2y=0
sumn=2^inftyn(n-1),an,t^n-2 ;+;tsumn=1^inftyn,an,t^n-1 ;+;2sumn=0^inftyan,t^n =0

Passo 3

Reindexamos cada soma para obter potências iguais de t^m. Na primeira, faça m=n-2:
summ=0^infty(m+2)(m+1),am+2,t^m
Na segunda, tsumn=1^infty n,an,t^n-1=sumn=1^infty n,an,t^n. Na terceira já está em potências de t^n. Troque o índice n por m para todas ficarem em t^m:
summ=0^infty(m+2)(m+1),am+2,t^m ;+;summ=0^inftym,am,t^m ;+;2summ=0^inftyam,t^m =0

Passo 4

Combine as duas últimas somas em
summ=0^inftyl(m+2r),am,t^m
Logo
summ=0^inftyl[(m+2)(m+1),am+2+(m+2),amr],t^m=0
Como isso vale para todo m, o coeficiente de cada t^m deve ser zero, gerando a relação de recorrência
(m+2)(m+1),am+2+(m+2),am=0 Longrightarrow am+2=-amm+1

Passo 5

A recorrência liga am+2 a am. Isso gera duas séries independentes:
Para m=2k (coeficientes pares):
a2k+2=-a2k2k+1 Longrightarrow a2k=(-1)^k,a01cdot3cdot5cdots(2k-1)
Para m=2k+1 (coeficientes ímpares):
a2k+3=-a2k+12k+2 Longrightarrow a2k+1=(-1)^k,a12cdot4cdot6cdots(2k)

Passo 6

Expressando os produtos:
1cdot3cdot5cdots(2k-1)=(2k)!2^k,k!, 2cdot4cdot6cdots(2k)=2^k,k!
Portanto as duas soluções fundamentais são
y1(t) =sumk=0^infty(-1)^k2^k,k!(2k)!,t^2k,
y2(t) =sumk=0^infty(-1)^k12^k,k!,t^2k+1

Resposta

A solução geral é
y(t)=C1,y1(t)+C2,y2(t) =C1sumk=0^infty(-1)^k2^k,k!(2k)!,t^2k ;+; C2sumk=0^infty(-1)^k12^k,k!,t^2k+1

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