Calcule os autovalores e autovalores das seguintes matrizes:
[cc 5 & -1 3 & 1 ], [cc 1 & raiz3 raiz3 & -1 ], [cc -3 & 3 / 4 -5 & 1 ]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores de três matrizes 2times2. O conteúdo principal é resolver cada polinômio característico
detl(A-lambda Ir)=0
para encontrar os autovalores lambda e depois achar vetores não-nulos v tais que
(A-lambda I),v=0

Passo 2

Para
A=5 & -13 & 1
o polinômio característico é
detl(A-lambda Ir) =(5-lambda)(1-lambda)-(-1)cdot3 =lambda^2-6lambda+8
As raízes são
lambda^2-6lambda+8=0 Longrightarrow lambda=4,;2
Para lambda=4,
A-4I=1&-13&-3 Longrightarrow v1=11
Para lambda=2,
A-2I=3&-13&-1 Longrightarrow v2=13

Passo 3

Para
B=1 & raiz3raiz3&-1
o polinômio característico é
detl(B-lambda Ir) =(1-lambda)(-1-lambda)-(raiz3)^2 =lambda^2-4
As raízes são
lambda^2-4=0 Longrightarrow lambda=2,,-2
Para lambda=2,
B-2I=-1&raiz3raiz3&-3 Longrightarrow v1=raiz31
Para lambda=-2,
B+2I=3&raiz3raiz3&1 Longrightarrow v2=-1raiz3

Passo 4

Para
C=-3 & tfrac34-5 & 1
o polinômio característico é
detl(C-lambda Ir) =(-3-lambda)(1-lambda)-tfrac34cdot(-5) =lambda^2+2lambda+tfrac34+(-3) =lambda^2+2lambda+tfrac34
ou, multiplicando por 4,
4lambda^2+8lambda+3=0 Longrightarrow lambda=-tfrac12,,-tfrac32
Para lambda=-tfrac12,
C+tfrac12I =-tfrac52&tfrac34-5&tfrac32 Longrightarrow v1=310
Para lambda=-tfrac32,
C+tfrac32I =-tfrac32&tfrac34-5&tfrac52 Longrightarrow v2=12

Resposta

Matriz A:
Autovalores lambda=4,2.
Autovetores correspondentes v1=(1,1)^T, v2=(1,3)^T.
Matriz B:
Autovalores lambda=2,-2.
Autovetores correspondentes v1=(raiz3,1)^T, v2=(-1,raiz3)^T.
Matriz C:
Autovalores lambda=-tfrac12,-tfrac32.
Autovetores correspondentes v1=(3,10)^T, v2=(1,2)^T.

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