1.14 Determinar a ascensāo capilar para água destilada a 104^{\circ} \mathrm{F}\left(40^{\circ} \mathrm{C}\right) num tubo de vidro com 1 / 4 \mathrm{in}. ( 0,635 \mathrm{~cm} ) de diâmetro.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pede determinar a ascensão capilar (altura que a água sobe) para água destilada a 40^\circ\mathrm{C} num tubo de vidro de diâmetro 0,635\\ \text{cm}.
  • Dados fornecidos no enunciado:
    • Diâmetro do tubo: d=0,635\\ \text{cm}.
    • Temperatura da água: 40^\circ\mathrm{C} (usar propriedades da água a essa temperatura).
  • Informação extra necessária que usarei (valores tabelados para água a 40^\circ\mathrm{C}):
    • Tensão superficial: \gamma = 0,0696\\ \text{N}\,\text{m}^{-1} (valor tabelado para água a 40^\circ\mathrm{C}).
    • Densidade: \rho = 992,2\\ \text{kg}\,\text{m}^{-3} (valor tabelado para água a 40^\circ\mathrm{C}).
    • Aceleração da gravidade: g = 9,81\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}.
    • Ângulo de contato água/vidro limpo: \theta \approx 0^\circ, logo \cos\theta \approx 1.
  • Objetivo final: calcular a altura h da coluna de água devido à ação capilar.

Passo 2

Fórmula básica da ascensão capilar e sua justificativa física (mini-aula):
  • Ideia física: a tensão superficial age ao longo da linha de contacto entre o líquido e a parede do tubo e puxa para cima uma força que sustenta o peso da coluna de líquido que sobe.
  • Força ascendente dada pela tensão superficial:
    • Comprimento da linha de contato (circunferência interna) = 2\pi r, onde r é o raio interno do tubo.
    • Componente vertical da tensão superficial por unidade de comprimento = \gamma \cos\theta.
    • Força total para cima: F_\text{up} = 2\pi r\,\gamma \cos\theta.
  • Peso da coluna de líquido que sobe:
    • Volume da coluna = área da base \pi r^2 vezes altura h: V=\pi r^2 h.
    • Massa = \rho V = \rho \pi r^2 h.
    • Peso = F_\text{down} = \rho \pi r^2 h\,g.
  • Equilibrando forças (estado estático): F_\text{up}=F_\text{down}. Portanto
2\pi r\,\gamma \cos\theta = \rho \pi r^2 h\,g.
  • Simplificando (cancelando \pi r) obtemos a fórmula clássica da ascensão capilar:
h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}.
  • Nesta fórmula:
    • h é a altura de ascensão (m),
    • \gamma é a tensão superficial (N·m^{-1}),
    • \theta é o ângulo de contato (radianos), \cos\theta adimensional,
    • \rho é a densidade do líquido (kg·m^{-3}),
    • g é a aceleração da gravidade (m·s^{-2}),
    • r é o raio interno do tubo (m).

Passo 3

Escolha e justificativa dos valores numéricos usados:
  • Uso \cos\theta \approx 1 porque água limpa molha bem o vidro ( \theta muito próximo de 0^\circ).
  • Valores tabelados para água a 40^\circ\mathrm{C} (aceitos em provas):
    • \gamma = 0,0696\\ \text{N}\,\text{m}^{-1}.
    • \rho = 992,2\\ \text{kg}\,\text{m}^{-3}.
  • Para g uso 9,81\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}.
  • Observação: se na prova houver tabela diferente, use os valores fornecidos na prova; o procedimento é o mesmo.

Passo 4

Conversão de unidades e cálculo do raio:
  • Diâmetro dado: d=0,635\\ \text{cm}. Converter para metros: d = 0,635\\ \text{cm} = 0,00635\\ \text{m}.
  • Raio interno do tubo: r = \frac{d}{2} = \frac{0,00635\\ \text{m}}{2} = 0,003175\\ \text{m}.

Passo 5

Substituição na fórmula e cálculo passo a passo:
  • Fórmula (repetindo):
h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}.
  • Como \cos\theta \approx 1, substitui-se os valores:
h = \frac{2\cdot 0,0696\\ \text{N}\,\text{m}^{-1}\cdot 1}{992,2\\ \text{kg}\,\text{m}^{-3}\cdot 9,81\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}\cdot 0,003175\\ \text{m}}.
  • Calcular numerador: 2\gamma = 2\cdot 0,0696 = 0,1392\\ \text{N}\,\text{m}^{-1}.
  • Calcular denominador em duas etapas: \rho g = 992,2\cdot 9,81 = 9733,482\\ \text{kg}\,\text{m}^{-2}\,\text{s}^{-2}.(unidade equivalente a N·m^{-3} vezes m gives N·m^{-2} etc; aqui seguimos numérico) \rho g r = 9733,482\cdot 0,003175 = 30,90378035\\ (\text{unidade numérica}).é
  • Agora a divisão: h = \frac{0,1392}{30,90378035} \approx 0,004503\\ \text{m}.

Passo 6

Converter resultado para unidades práticas e comentar precisão:
  • Em metros: h \approx 0,004503\\ \text{m}.
  • Em milímetros: h \approx 4,503\\ \text{mm}.
  • Em centímetros: h \approx 0,4503\\ \text{cm}.
  • Arredondando razoavelmente (dados tabelados têm cerca de 3 algarismos significativos), podemos escrever h \approx 4,50\\ \text{mm}.
  • Observação didática: se o ângulo de contato não for nulo, substituir \cos\theta pelo valor apropriado; tubos mais finos (menor r) produzem maiores alturas.

Passo 7

Interpretação final curta e dica de prova:
  • A ascensão calculada é da ordem de poucos milímetros para um tubo de diâmetro 1/4 in; isso costuma ser plausível para água.
  • Dica prática para prova: memorize a fórmula \,h=\dfrac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r}\,, saiba converter diâmetro → raio e unidades para o SI, e use \cos\theta\approx1 para água em vidro limpo.

Resposta

h \approx 4,50\\ \text{mm}

Exercícios relacionados