Calcule o acréscimo de tensões sobre planos horizontais a 3 m de profundidade causado pela sobrecarga concentrada de 15000 kN na superfície do terreno, com:
5 metros de afastamento lateral.
5 metros de afastamento lateral.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede: calcular o acréscimo de tensões vertical sobre planos horizontais a
de profundidade causado por uma sobrecarga concentrada na superfície. - Dados fornecidos:
- Carga concentrada na superfície:
. - Profundidade do plano horizontal onde se quer a tensão:
. - Afastamento lateral (distância horizontal do ponto de aplicação da carga até o ponto onde se calcula a tensão):
.
- Carga concentrada na superfície:
- Observação de unidades: a carga está em
e as distâncias em . A resposta de tensão virá em (que equivale a ) se mantivermos essas unidades.
Passo 2
Escolha do método (sem detalhes técnicos pesados): para uma carga concentrada aplicada na superfície do terreno, a forma padrão usada em mecânica dos solos para estimar a variação da tensão vertical a uma profundidade e distância lateral quaisquer é a solução de Boussinesq para carga pontual. Essa fórmula nos dá a contribuição da carga concentrada para a tensão vertical em um ponto no interior do meio elástico semi-infinito.
Apresento a fórmula de Boussinesq (vertical stress devido a uma carga pontual na superfície):
Explicando cada termo:
-
é o acréscimo de tensão vertical no ponto situado a profundidade e a distância horizontal da carga. -
é a carga concentrada aplicada na superfície (aqui em ). -
é a distância horizontal do ponto ao eixo da carga (em ). -
é a profundidade do ponto medido verticalmente abaixo da superfície (em ). -
é a constante matemática .
Breve intuição do porquê essa fórmula faz sentido (sem derivação pesada): a influência da carga diminui com a distância do ponto; a dependência em potências de
e
reflete a maneira como o campo de tensões se espalha tridimensionalmente no solo. A fórmula é a prática comum em provas e aplicacões de engenharia para uma carga pontual.
Passo 3
Aplicando os dados na fórmula: vamos substituir
,
e
(mantendo unidades
e
) na expressão de Boussinesq.
Primeiro escrevo a fórmula com os valores simbólicos:
Passo 4
Calcular passo a passo as quantidades intermediárias.
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular o fator
:
Passo 5
Agora substituo as quantidades numéricas finais na fórmula e calculo
.
Interpretação das unidades:
. Logo a variação de tensão vertical no plano a
de profundidade, a
lateral da carga, é aproximadamente
.
Passo 6
Breve checagem e comentário prático: o valor é pequeno comparado à carga aplicada porque o ponto está a distância lateral razoável e a profundidade não é muito rasa; isso está de acordo com a expectativa física de que a influência de uma carga pontual decresce rapidamente com a distância.
Força de ânimo: você já entendeu a ideia-chave — usar a fórmula de Boussinesq, identificar
e
, e substituir com cuidado. Isso é exatamente o que costumam pedir em prova. Vai dar certo!