Calcule o acréscimo de tensões sobre planos horizontais a 3 m de profundidade causado pela sobrecarga concentrada de 15000 kN na superfície do terreno, com:
5 metros de afastamento lateral.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: calcular o acréscimo de tensões vertical sobre planos horizontais a 3\\ \text{m} de profundidade causado por uma sobrecarga concentrada na superfície.
  • Dados fornecidos:
    • Carga concentrada na superfície: P=15000\\ \text{kN}.
    • Profundidade do plano horizontal onde se quer a tensão: z=3\\ \text{m}.
    • Afastamento lateral (distância horizontal do ponto de aplicação da carga até o ponto onde se calcula a tensão): r=5\\ \text{m}.
  • Observação de unidades: a carga está em \text{kN} e as distâncias em \text{m}. A resposta de tensão virá em \text{kN}/\text{m}^2 (que equivale a \text{kPa}) se mantivermos essas unidades.

Passo 2

Escolha do método (sem detalhes técnicos pesados): para uma carga concentrada aplicada na superfície do terreno, a forma padrão usada em mecânica dos solos para estimar a variação da tensão vertical a uma profundidade e distância lateral quaisquer é a solução de Boussinesq para carga pontual. Essa fórmula nos dá a contribuição da carga concentrada para a tensão vertical em um ponto no interior do meio elástico semi-infinito.
Apresento a fórmula de Boussinesq (vertical stress devido a uma carga pontual na superfície):
\sigma_z(r,z)=\frac{3P}{2\pi}\,\frac{z^{3}}{(r^{2}+z^{2})^{5/2}}.
Explicando cada termo:
  • \sigma_z(r,z) é o acréscimo de tensão vertical no ponto situado a profundidade z e a distância horizontal r da carga.
  • P é a carga concentrada aplicada na superfície (aqui em \text{kN}).
  • r é a distância horizontal do ponto ao eixo da carga (em \text{m}).
  • z é a profundidade do ponto medido verticalmente abaixo da superfície (em \text{m}).
  • \pi é a constante matemática \pi\approx3{,}14159.
Breve intuição do porquê essa fórmula faz sentido (sem derivação pesada): a influência da carga diminui com a distância do ponto; a dependência em potências de z e r reflete a maneira como o campo de tensões se espalha tridimensionalmente no solo. A fórmula é a prática comum em provas e aplicacões de engenharia para uma carga pontual.

Passo 3

Aplicando os dados na fórmula: vamos substituir P=15000, z=3 e r=5 (mantendo unidades \text{kN} e \text{m}) na expressão de Boussinesq.
Primeiro escrevo a fórmula com os valores simbólicos:
\sigma_z(5,3)=\frac{3\cdot 15000}{2\pi}\,\frac{3^{3}}{(5^{2}+3^{2})^{5/2}}.

Passo 4

Calcular passo a passo as quantidades intermediárias.
Calcular r^{2}+z^{2}:
r^{2}+z^{2}=5^{2}+3^{2}=25+9=34.
Calcular (r^{2}+z^{2})^{5/2}:
(r^{2}+z^{2})^{5/2}=34^{5/2}=34^{2}\sqrt{34}=1156\sqrt{34}\approx 6740{,}4189.
Calcular z^{3}:
z^{3}=3^{3}=27.
Calcular o fator \dfrac{3P}{2\pi}:
\frac{3P}{2\pi}=\frac{3\cdot 15000}{2\pi}=\frac{45000}{2\pi}=\frac{22500}{\pi}\approx 7161{,}9719.

Passo 5

Agora substituo as quantidades numéricas finais na fórmula e calculo \sigma_z.
\sigma_z(5,3)=7161{,}9719\cdot\frac{27}{6740{,}4189}\approx 28{,}69\\ \text{kN}/\text{m}^2.
Interpretação das unidades: 1\\ \text{kN}/\text{m}^2=1\\ \text{kPa}. Logo a variação de tensão vertical no plano a 3\\ \text{m} de profundidade, a 5\\ \text{m} lateral da carga, é aproximadamente 28{,}69\\ \text{kPa}.

Passo 6

Breve checagem e comentário prático: o valor é pequeno comparado à carga aplicada porque o ponto está a distância lateral razoável e a profundidade não é muito rasa; isso está de acordo com a expectativa física de que a influência de uma carga pontual decresce rapidamente com a distância.
Força de ânimo: você já entendeu a ideia-chave — usar a fórmula de Boussinesq, identificar r e z, e substituir com cuidado. Isso é exatamente o que costumam pedir em prova. Vai dar certo!

Resposta

\sigma_z(5,3)\approx 28,69\\ \text{kPa}

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