Sendo K=2,2 \mathrm{GPa} o módulo de elasticidade volumétrica da água, qual a pressĩo necessária para reduzir seu volump, do 0.5 par cento?

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: K=2{,}2\\ \mathrm{GPa} (módulo de elasticidade volumétrica da água).
  • Dado: reduzir o volume em 0{,}5\% (ou seja, uma variação relativa do volume de \Delta V/V = -0{,}5\% = -0{,}005).
  • Pedido: encontrar a pressão necessária \Delta P (aumentar a pressão) para provocar essa redução de volume.

Passo 2

Entender a fórmula que relaciona pressão e variação de volume (a teoria necessária, explicada devagarinho).
O módulo de compressibilidade volumétrica (bulk modulus) K mede a resistência do material à compressão. A definição diferencial é
K = -V\,\frac{dP}{dV}.
Aqui:
  • K é o módulo (unidade: Pa),
  • P é a pressão (Pa),
  • V é o volume (m^3),
  • dP/dV é a taxa de variação da pressão em função do volume.
Para pequenas variações finitas essa definição dá a aproximação
K \approx -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}.
Desse modo isolamos a variação de pressão:
\Delta P = -K\frac{\Delta V}{V}.
Observação sobre sinais: ao comprimir, \Delta V<0 e \Delta P>0. A fórmula acima cuida disso automaticamente (o sinal menos transforma a variação negativa de volume em uma variação positiva de pressão).

Passo 3

Aplicar a fórmula com os números do enunciado (passo a passo aritmético).
Primeiro converter K para pascal:
K = 2{,}2\\ \mathrm{GPa} = 2{,}2\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
A variação relativa do volume é
\frac{\Delta V}{V} = -0{,}005.
Usando
\Delta P = -K\frac{\Delta V}{V},
temos
\Delta P = -\bigl(2{,}2\times10^{9}\bigr)\times(-0{,}005).
Calculemos passo a passo: 2{,}2\times0{,}005 = 0{,}011. Multiplicando pela potência de dez,
\Delta P = 0{,}011\times10^{9}\\ \mathrm{Pa} = 1{,}1\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
É comum expressar isso em megapascais:
1{,}1\times10^{7}\\ \mathrm{Pa} = 11\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Interpretação final e conversões úteis (para te orientar na prova).
  • A pressão adicional necessária é \Delta P = 1{,}1\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}, isto é, 11\\ \mathrm{MPa}.
  • Em atmosferas, aproximando 1\\ \text{atm}=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, isso equivale a cerca de 108{,}5 atm (apenas para intuição).
  • Lembre-se: a relação linear \Delta V/V = -\Delta P/K vale para pequenas variações; 0{,}5% é suficientemente pequeno para usar essa aproximação com segurança para a água.
Força-te um pouco: na prova, escreva a definição de K, mostre a passagem para a forma finita, converta unidades (GPa→Pa) e efetue a multiplicação; isso ganha pontos de método.

Resposta

\Delta P = 1{,}1\times10^{7}\\ \mathrm{Pa} = 11\\ \mathrm{MPa}

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