Qual é o módulo de elasticidade volumétrica de um líquido que tem um aumento de 0,02 por cento na massa especifica para um aumento na pressão de 1.000 \mathrm{lb} / \mathrm{ft}^{2} ? E para um aumento na pressão de 60 kPa ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: calcular o módulo de elasticidade volumétrica (módulo volumétrico, ou bulk modulus) do líquido nas duas situações.
  • Dados fornecidos:
    • Aumento relativo da massa específica (densidade) igual a 0{,}02\% para um dado aumento de pressão.
    • Caso (a): aumento da pressão \Delta p = 1.000\\ \text{lb/ft}^2.
    • Caso (b): aumento da pressão \Delta p = 60\\ \text{kPa}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • O módulo de elasticidade volumétrica K mede a resistência do líquido à compressão. Por definição,
K = -\frac{\Delta p}{\Delta V/V},
onde \Delta p é a variação de pressão, V é o volume e \Delta V é a variação de volume. O sinal negativo aparece porque o volume diminui quando a pressão aumenta.
  • Relação entre densidade e volume (com massa m constante):
\rho=\frac{m}{V}\quad\Rightarrow\quad \frac{\Delta\rho}{\rho}=-\frac{\Delta V}{V}.
Isso é intuitivo: se o volume diminui, a densidade aumenta.
  • Substituindo \Delta V/V = -\Delta\rho/\rho na definição de K obtemos uma forma muito prática quando o que se conhece é a variação relativa da densidade:
K=\frac{\Delta p}{\Delta\rho/\rho}.
Aqui:
  • \Delta p é a variação de pressão (mesma unidade que se quer para K);
  • \Delta\rho/\rho é a variação relativa da densidade (número adimensional).

Passo 3

Converter a variação percentual em fração e obter uma expressão prática:
  • A variação de 0{,}02\% em forma decimal é
0{,}02\% = \frac{0{,}02}{100}=0{,}0002.
  • Logo, para este problema
\frac{\Delta\rho}{\rho}=0{,}0002.
  • Portanto a expressão para K fica
K=\frac{\Delta p}{0{,}0002}=5.000\;\Delta p.
Isto significa que o módulo é 5.000 vezes a variação de pressão dada (na mesma unidade).

Passo 4

Cálculo para o caso (a): \Delta p=1.000\\ \text{lb/ft}^2
  • Usando K=5.000\;\Delta p,
K=5.000\times 1.000\\ \text{lb/ft}^2=5.000.000\\ \text{lb/ft}^2.
  • Conversão para unidades SI (Pa): usa-se 1\\ \text{lb/ft}^2 \approx 47{,}880259\\ \text{Pa}. Assim
K = 5.000.000\times 47{,}880259\\ \text{Pa} \approx 239{,}401{,}295\\ \text{Pa}.
  • Interpretando em notação prática,
K \approx 2,39\times 10^{8}\\ \text{Pa}\approx 239{,}4\\ \text{MPa}.

Passo 5

Cálculo para o caso (b): \Delta p=60\\ \text{kPa}
  • Primeiro escrever em Pa: 60\\ \text{kPa}=60.000\\ \text{Pa}.
  • Aplicando K=5.000\;\Delta p,
K=5.000\times 60.000\\ \text{Pa}=300.000.000\\ \text{Pa}.
  • Em forma mais prática,
K=3,00\times 10^{8}\\ \text{Pa}=300\\ \text{MPa}.
  • Se quiser converter para \text{lb/ft}^2, use 1\\ \text{Pa}\approx 0{,}020885434\\ \text{lb/ft}^2, então
K\approx 300.000.000\times 0{,}020885434\\ \text{lb/ft}^2\approx 6.265.630\\ \text{lb/ft}^2.

Passo 6

Resumo físico e dica rápida:
  • O módulo encontrado está na faixa de algumas centenas de \text{MPa}, que é coerente com valores típicos de compressibilidade de líquidos (líquidos são pouco comprimíveis, então K é grande).
  • Na prova: lembre-se da relação simples \Delta\rho/\rho = -\Delta V/V e da fórmula K=\Delta p/(\Delta\rho/\rho); com a variação percentual basta passar para fração e dividir a pressão por essa fração.

Resposta

K = 5.000.000\\ \text{lb/ft}^2 \approx 2,39\times10^{8}\\ \text{Pa} \approx 239{,}4\\ \text{MPa}
K = 3,00\times10^{8}\\ \text{Pa} = 300\\ \text{MPa}

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