14.1
Determine o domínio das funções:
f(x, y, z)=ln (16-4 x^2-4 y^2 cdot z^2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio da função f(x,y,z)=lnl(16-4x^2-4y^2z^2r). Isso cai no tema de domínio de funções envolvendo logaritmo, e vamos precisar saber quando o argumento de um ln faz sentido.

Passo 2

Para que ln(t) esteja definido, precisamos ter t>0. Aqui o nosso t é 16-4x^2-4y^2z^2, então montamos a condição
16-4x^2-4y^2z^2>0

Passo 3

Agora basta resolver essa desigualdade. Primeiro fatoramos o 4:
4l(4 - x^2 - y^2z^2r)>0

Passo 4

Como 4>0, a desigualdade reduz a
4 - x^2 - y^2z^2>0
e reorganizando:
x^2 + y^2z^2 < 4

Passo 5

Esse é exatamente o critério para os tripletos (x,y,z) em R^3 pertencerem ao domínio de f.

Resposta

O domínio é \
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 z^2 < 4\}.

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