Encontre as funções:
i. f circ g
ii. g circ f
iii. f circ f
iv. g circ g
c) f(x)=sen x, g(x)=1-raizx

Passo 1

O enunciado pede para achar as composições de funções: fcirc g, gcirc f, fcirc f e gcirc g, onde f(x)=sin x e g(x)=1-raizx. O conteúdo principal é composição de funções e devemos ficar atentos às restrições de domínio.

Passo 2

A definição de composição é: dado f e g, temos (fcirc g)(x)=fl(g(x)r) e (gcirc f)(x)=gl(f(x)r). Para cada composição, além de construir a expressão, precisamos verificar para quais x ela faz sentido (domínio).

Passo 3

Para fcirc g substituímos g(x) em f:
(fcirc g)(x)=sinl(g(x)r)=sinl(1-raizxr)
Aqui só juntamos as expressões. Agora o domínio: g(x)=1-raizx exige x>=0. Não há outra restrição ao entrar em sin, então .

Passo 4

Para gcirc f substituímos f(x) em g:
(gcirc f)(x)=1-raizf(x)=1-raizsin x
O domínio agora vem de raizsin x, ou seja, precisamos de sin x>=0. Logo .

Passo 5

Para fcirc f temos:
(fcirc f)(x)=sinl(f(x)r)=sinl(sin xr)
O sin x está sempre no intervalo [-1,1], mas isso não gera restrição extra para sin de algo em [-1,1]. Portanto .

Passo 6

Para gcirc g fazemos:
(gcirc g)(x)=1-raizg(x)=1-raiz1-raizx
Aqui temos duas raízes: primeiro raizx pede x>=0. Depois raiz1-raizx pede 1-raizx>=0, isto é raizx<=1 ou x<=1. Assim .

Resposta

i. . ii. . iii. . iv. .

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