3-14 Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série converge e, se sim, encontrar a sua soma. Isso está relacionado ao conteúdo de séries geométricas. Para resolver, vamos precisar identificar se a série é geométrica, verificar o critério de convergência dessa série e, se der certo, calcular a soma usando a fórmula específica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
Onde:
a é o primeiro termo da série.
r é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, comparando com a fórmula acima, temos:
(porque qualquer número elevado a 0 é 1).
Então, confirmamos que é uma série geométrica com primeiro termo 1 e razão .
Passo 3
Agora, vamos verificar o critério de convergência para séries geométricas. Uma série geométrica converge se o módulo da razão for menor que 1. Ou seja:
No nosso caso:
Como 34 < 1, a série converge. Isso significa que podemos calcular a soma dessa série.
Passo 4
Com a confirmação de que a série converge, vamos calcular a soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita: