3-14 Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
3. sumk=1^infty(-34)^k-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série sumk=1^infty(-34)^k-1 converge e, se sim, encontrar a sua soma. Isso está relacionado ao conteúdo de séries geométricas. Para resolver, vamos precisar identificar se a série é geométrica, verificar o critério de convergência dessa série e, se der certo, calcular a soma usando a fórmula específica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
sumk=1^infty a cdot r^k-1
Onde:
  • a é o primeiro termo da série.
  • r é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, comparando com a fórmula acima, temos:
  • a = (-34)^0 = 1 (porque qualquer número elevado a 0 é 1).
  • r = -34
Então, confirmamos que é uma série geométrica com primeiro termo 1 e razão -34.

Passo 3

Agora, vamos verificar o critério de convergência para séries geométricas. Uma série geométrica converge se o módulo da razão |r| for menor que 1. Ou seja:
|r| < 1
No nosso caso:
r = -34 |r| = | -34 | = 34
Como 34 < 1, a série converge. Isso significa que podemos calcular a soma dessa série.

Passo 4

Com a confirmação de que a série converge, vamos calcular a soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Onde:
  • a é o primeiro termo, que já vimos que é 1.
  • r é a razão, que é -34.
Substituindo os valores na fórmula:
S = 11 - (-34) S = 11 + 34 S = 174 S = 47

Resposta

A série converge e a sua soma é 47.

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