14.1 Determine a Transformada de Laplace das funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a Transformada de Laplace da função
. Vamos considerar a transformada unilateral usual, definida para funções no intervalo
. As informações dadas são:
- A função:
para . - Não foi especificado se
é real ou complexo, então manterei genérico (possivelmente complexo) e explicitarei a região de convergência no final.
O que se pede: calcular, isto é a integral de Laplace de em função de .
Passo 2
Relembrando a definição (aquela que você pode usar direto na prova):
onde
é a variável complexa da transformada. Aqui
é o núcleo da transformada; o produto
é o integrando. Para que a integral faça sentido como improper integral, é preciso que o integrando tenda a zero rápido o suficiente quando
; vamos ver a condição explícita ao calcular.
Passo 3
Substitui-se
na definição:
Juntando os expoentes (propriedade dos expoentes):
logo a integral fica
Passo 4
Agora calculamos a integral imprópria. Primeiro a primitiva (uma antiderivada) de
em relação a
é
desde que
. Avaliando a integral própria como limite:
Isso dá
Passo 5
A convergência do termo
quando
depende da parte real de
. Para que
é necessário e suficiente que
. Portanto assumimos essa condição e o primeiro termo some no limite, sobrando
válido quando
. Escrevendo a condição em termos de
e
:
Se
for real, a condição simplifica para
(quando se considera
real). Note também que há um pólo simples da transformada na linha
.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar: se
(número real), então
com região de convergência
(ou, para
real,
). Tá ficando mais tranquilo, né? Isso é padrão e vale pra lembrar na prova.