14.1 Determine a Transformada de Laplace das funções:
f(t)=e^{-a t}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a Transformada de Laplace da função \,f(t)=e^{-a t}\,. Vamos considerar a transformada unilateral usual, definida para funções no intervalo [0,\infty). As informações dadas são:
  • A função: \,f(t)=e^{-a t}\, para t\ge 0.
  • Não foi especificado se a é real ou complexo, então manterei a genérico (possivelmente complexo) e explicitarei a região de convergência no final.
    O que se pede: calcular \mathcal{L}\{f\}(s), isto é a integral de Laplace de f em função de s.

Passo 2

Relembrando a definição (aquela que você pode usar direto na prova):
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada. Aqui e^{-s t} é o núcleo da transformada; o produto e^{-s t}f(t) é o integrando. Para que a integral faça sentido como improper integral, é preciso que o integrando tenda a zero rápido o suficiente quando t\to\infty; vamos ver a condição explícita ao calcular.

Passo 3

Substitui-se f(t)=e^{-a t} na definição:
\mathcal{L}\{e^{-a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,e^{-a t}\,dt.
Juntando os expoentes (propriedade dos expoentes):
e^{-s t}\,e^{-a t}=e^{-(s+a)t},
logo a integral fica
\mathcal{L}\{e^{-a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t}\,dt.

Passo 4

Agora calculamos a integral imprópria. Primeiro a primitiva (uma antiderivada) de e^{-(s+a)t} em relação a t é
\int e^{-(s+a)t}\,dt = -\frac{1}{s+a}\,e^{-(s+a)t},
desde que s+a\neq 0. Avaliando a integral própria como limite:
\mathcal{L}\{e^{-a t}\}(s)=\lim_{T\to\infty}\int_{0}^{T} e^{-(s+a)t}\,dt =\lim_{T\to\infty}\left[-\frac{1}{s+a}e^{-(s+a)t}\right]_{t=0}^{t=T}.
Isso dá
\mathcal{L}\{e^{-a t}\}(s)=\lim_{T\to\infty}\left(-\frac{1}{s+a}e^{-(s+a)T}+\frac{1}{s+a}\right).

Passo 5

A convergência do termo \,e^{-(s+a)T}\, quando T\to\infty depende da parte real de s+a. Para que e^{-(s+a)T}\to 0 é necessário e suficiente que \mathrm{Re}(s+a)>0. Portanto assumimos essa condição e o primeiro termo some no limite, sobrando
\mathcal{L}\{e^{-a t}\}(s)=\frac{1}{s+a},
válido quando \mathrm{Re}(s+a)>0. Escrevendo a condição em termos de \mathrm{Re}(s) e \mathrm{Re}(a):
\mathrm{Re}(s)>-\mathrm{Re}(a).
Se a for real, a condição simplifica para s>-a (quando se considera s real). Note também que há um pólo simples da transformada na linha s=-a.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar: se a=2 (número real), então
\mathcal{L}\{e^{-2t}\}(s)=\frac{1}{s+2},
com região de convergência \mathrm{Re}(s)>-2 (ou, para s real, s>-2). Tá ficando mais tranquilo, né? Isso é padrão e vale pra lembrar na prova.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{-a t}\}(s)=\frac{1}{s+a},\quad \text{para }\mathrm{Re}(s)>-\mathrm{Re}(a)

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