O denominador é s^{3}\left(s^{2}+4\right).
Pergunta: determinar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{3 s-2}{s^{3}\left(s^{2}+4\right)}\right\}.
Passo 2
Plano de solução (sem calcular ainda): a função é uma fração racional própria (grau do numerador < grau do denominador), então o método natural é decompor em frações parciais. Depois aplicamos transformadas inversas conhecidas termo a termo. Vou usar a forma padrão de decomposição para pólos em s=0 (de multiplicidade 3) e para o pólo quadrático s^{2}+4.
Passo 3
Escrever a decomposição em frações parciais. Como há polo de ordem 3 em s=0 e um fator quadrático irreduzível s^{2}+4, a decomposição tem a forma
Relembrando as transformadas de Laplace inversas que usaremos (com explicação curta de cada uma):
\mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}, logo \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1.
\mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1}{s^{2}}, logo \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=t.
\mathcal{L}\{t^{2}\}=\dfrac{2}{s^{3}}, logo \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{3}}\right\}=\dfrac{t^{2}}{2}. (Regra geral: \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}.)
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}, logo \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\cos(at).
\mathcal{L}\{\sin(at)\}=\dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}, logo \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\dfrac{1}{a}\sin(at).
No nosso caso a=2, portanto \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}+4}\right\}=\dfrac{1}{2}\sin(2t) e \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{s^{2}+4}\right\}=\cos(2t).
Passo 8
Aplicar as transformadas inversas termo a termo, cuidando dos fatores constantes: