14.3 Determine a Transformada de Laplace inversa:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3 s-2}{s^{3}\left(s^{2}+4\right)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa da função racional
\frac{3 s-2}{s^{3}\left(s^{2}+4\right)}.
Ou seja, encontrar uma função f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{3 s-2}{s^{3}\left(s^{2}+4\right)}.
Informações dadas:
  • O numerador é 3s-2.
  • O denominador é s^{3}\left(s^{2}+4\right).
    Pergunta: determinar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{3 s-2}{s^{3}\left(s^{2}+4\right)}\right\}.

Passo 2

Plano de solução (sem calcular ainda): a função é uma fração racional própria (grau do numerador < grau do denominador), então o método natural é decompor em frações parciais. Depois aplicamos transformadas inversas conhecidas termo a termo. Vou usar a forma padrão de decomposição para pólos em s=0 (de multiplicidade 3) e para o pólo quadrático s^{2}+4.

Passo 3

Escrever a decomposição em frações parciais. Como há polo de ordem 3 em s=0 e um fator quadrático irreduzível s^{2}+4, a decomposição tem a forma
\frac{3 s-2}{s^{3}\left(s^{2}+4\right)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s^{3}}+\frac{D s+E}{s^{2}+4},
onde A,B,C,D,E são constantes a determinar.

Passo 4

Multiplicar ambos os lados por s^{3}(s^{2}+4) para obter uma identidade polinomial:
3s-2 = A s^{2}(s^{2}+4) + B s (s^{2}+4) + C (s^{2}+4) + (D s+E) s^{3}.
Vou expandir os termos do lado direito passo a passo:
A s^{2}(s^{2}+4) = A s^{4} + 4A s^{2},
B s (s^{2}+4) = B s^{3} + 4B s,
C (s^{2}+4) = C s^{2} + 4C,
(D s+E) s^{3} = D s^{4} + E s^{3}.
Somando:
\text{lado direito}=(A+D)s^{4}+(B+E)s^{3}+(4A+C)s^{2}+4B s+4C.
Essa soma deve ser igual ao polinômio 3s-2, que pode ser visto como
0\cdot s^{4}+0\cdot s^{3}+0\cdot s^{2}+3\cdot s+(-2).
Agora igualamos coeficientes de potências de s.

Passo 5

Igualando coeficientes obtém-se o sistema linear:
\begin{cases} s^{4}: & A + D = 0,\\[4pt] s^{3}: & B + E = 0,\\[4pt] s^{2}: & 4A + C = 0,\\[4pt] s^{1}: & 4B = 3,\\[4pt] s^{0}: & 4C = -2. \end{cases}
Resolver passo a passo:
  • Da equação 4B=3 segue B=\dfrac{3}{4}.
  • Da equação 4C=-2 segue C=-\dfrac{1}{2}.
  • Da equação 4A+C=0 tem 4A -\dfrac{1}{2}=0, logo 4A=\dfrac{1}{2} e A=\dfrac{1}{8}.
  • Da equação A+D=0 segue D=-A=-\dfrac{1}{8}.
  • Da equação B+E=0 segue E=-B=-\dfrac{3}{4}.
Portanto os coeficientes são
A=\tfrac{1}{8},\quad B=\tfrac{3}{4},\quad C=-\tfrac{1}{2},\quad D=-\tfrac{1}{8},\quad E=-\tfrac{3}{4}.]

Passo 6

Reescrevendo a decomposição com esses valores:
\frac{3 s-2}{s^{3}\left(s^{2}+4\right)}=\frac{1/8}{s}+\frac{3/4}{s^{2}}-\frac{1/2}{s^{3}}+\frac{-\tfrac{1}{8}s-\tfrac{3}{4}}{s^{2}+4}.
Ou separando o último termo:
\frac{3 s-2}{s^{3}\left(s^{2}+4\right)}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{s}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{s^{2}}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s^{3}}-\frac{1}{8}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}.

Passo 7

Relembrando as transformadas de Laplace inversas que usaremos (com explicação curta de cada uma):
  • \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}, logo \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1.
  • \mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1}{s^{2}}, logo \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=t.
  • \mathcal{L}\{t^{2}\}=\dfrac{2}{s^{3}}, logo \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{3}}\right\}=\dfrac{t^{2}}{2}. (Regra geral: \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}.)
  • \mathcal{L}\{\cos(at)\}=\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}, logo \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\cos(at).
  • \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}, logo \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\dfrac{1}{a}\sin(at).
    No nosso caso a=2, portanto \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}+4}\right\}=\dfrac{1}{2}\sin(2t) e \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{s^{2}+4}\right\}=\cos(2t).

Passo 8

Aplicar as transformadas inversas termo a termo, cuidando dos fatores constantes:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1}{s}\right\}=\dfrac{1}{8}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=\dfrac{3}{4}\,t.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{s^{3}}\right\}=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{t^{2}}{2}=-\dfrac{1}{4}t^{2}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{s}{s^{2}+4}\right\}=-\dfrac{1}{8}\cos(2t).
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{s^{2}+4}\right\}=-\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\sin(2t)=-\dfrac{3}{8}\sin(2t).
Somando todos os termos, obtemos f(t).

Passo 9

Somando os resultados:
f(t)=\frac{1}{8}+\frac{3}{4}t-\frac{1}{4}t^{2}-\frac{1}{8}\cos(2t)-\frac{3}{8}\sin(2t).

Resposta

\frac{1}{8}+\frac{3}{4}t-\frac{1}{4}t^{2}-\frac{1}{8}\cos(2t)-\frac{3}{8}\sin(2t)

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