14.4 Transformada de Laplace: Degrau Unitário
Expresse f(t) em termos da função degrau unitário:
f(t)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & t<2 \\\\ 5, & 2 \leq t<6 \\\\ 0, & t \geq 6 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes:
f(t)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & t<2 \\\\ 5, & 2 \leq t<6 \\\\ 0, & t \geq 6 \end{array}\right.
A pergunta é: expressar f(t) em termos da função degrau unitário (função de Heaviside).

Passo 2

Primeiro, lembrar o que é a função degrau unitário. Definição:
u(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] 1, & t\ge 0. \end{cases}
Explicando em palavras: u(t) “liga” no instante t=0 — antes disso vale 0, a partir de 0 vale 1. Essa função é usada para ligar/desligar sinais em instantes específicos.]

Passo 3

Agora a versão deslocada da função degrau: ao escrever u(t-a)\) com \(a>0\), essa função "liga" no instante \(t=a\). Ou seja: \[u(t-a)=\begin{cases} 0, & t<a,\\[4pt] 1, & t\ge a. \end{cases}
Portanto u(t-2)\] é zero para \(t<2 e igual a 1 para t\ge 2; u(t-6) é zero para t<6 e igual a 1 para t\ge 6.]

Passo 4

Para obter uma janela que vale 1 só entre t=2 e t=6, observe a combinação
u(t-2)-u(t-6).
Vamos checar os três intervalos:
  • Se t<2: u(t-2)=0 e u(t-6)=0, então u(t-2)-u(t-6)=0.
  • Se 2\le t<6: u(t-2)=1 e u(t-6)=0, então u(t-2)-u(t-6)=1.
  • Se t\ge 6: u(t-2)=1 e u(t-6)=1, então u(t-2)-u(t-6)=0.
Portanto u(t-2)-u(t-6) é exatamente a função indicadora (janela) do intervalo [2,6): vale 1 em 2\le t<6 e 0 fora.

Passo 5

A nossa f(t) vale 5 nesse intervalo e 0 fora. Basta multiplicar a janela por 5. Logo:
f(t)=5\bigl(u(t-2)-u(t-6)\bigr).
Isto atende precisamente o enunciado: produz 0 para t<2, 5 para 2\le t<6 e 0 para t\ge 6. Observação prática: o valor nos pontos isolados t=2 e t=6 não altera integrais (por exemplo, a transformada de Laplace), então a convenção u(0)=1 ou outra não muda resultados integrais.

Passo 6

Forma equivalente, distribuindo o 5:
f(t)=5\,u(t-2)-5\,u(t-6).
Ambas as escritas são idênticas e usadas conforme a preferência.

Passo 7

Exemplo rápido pra fixar: uma pulsação de amplitude 2 entre t=1 e t=3 seria 2\bigl(u(t-1)-u(t-3)\bigr). Vê-se o padrão: amplitude vezes a diferença de dois degraus deslocados.

Resposta

f(t)=5\bigl(u(t-2)-u(t-6)\bigr)

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