14.3 Determine a Transformada de Laplace inversa:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa da função racional em s:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}}\right\}.
Informações dadas:
  • A função no domínio de s é \dfrac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}}.
  • O objetivo é encontrar a função de tempo f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}}.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática e fórmulas que vou usar):
  • A transformada inversa é linear, então posso decompor a função em frações mais simples e inverter termo a termo.
  • Para funções racionais com fatores lineares no denominador, o método padrão é decomposição em frações parciais.
  • Fórmulas básicas de transformada de Laplace / inversa que usarei (explicadas):
    • \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}, logo \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1.
    • \mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1}{s^{2}}, logo \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=t.
    • Regra para termo deslocado: \mathcal{L}\{e^{-a t}g(t)\}=G(s+a). Em particular,
      \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s+a)^{n}}\right\}=\dfrac{t^{\,n-1}e^{-a t}}{(n-1)!}.
    • Essas fórmulas vêm de \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}} e da propriedade de translação no eixo s.
  • Vou decompor \frac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}}em termos da forma \frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s+2}+\frac{D}{(s+2)^{2}}+\frac{E}{(s+2)^{3}},determinar A,B,C,D,E e depois aplicar as inversas listadas.

Passo 3

Montar a decomposição em frações parciais e obter a identidade algébrica.
\frac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s+2}+\frac{D}{(s+2)^{2}}+\frac{E}{(s+2)^{3}}.
Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s+2)^{3} obtemos a igualdade polinomial
s+1 = A\,s\,(s+2)^{3} + B\,(s+2)^{3} + C\,s^{2}(s+2)^{2} + D\,s^{2}(s+2) + E\,s^{2}.
Agora uso valores estratégicos de s para achar alguns coeficientes rapidamente.
  • Tomando s=0:
    0+1 = B\,(0+2)^{3} \quad\Rightarrow\quad 1 = B\cdot 8 \quad\Rightarrow\quad B=\frac{1}{8}.
  • Tomando s=-2:
    -2+1 = E\,(-2)^{2} \quad\Rightarrow\quad -1 = 4E \quad\Rightarrow\quad E=-\frac{1}{4}.

Passo 4

Determinar os coeficientes restantes comparando coeficientes polinomiais. Primeiro expandimos alguns termos úteis:
(s+2)^{3}=s^{3}+6s^{2}+12s+8,
(s+2)^{2}=s^{2}+4s+4.
Substituindo nas parcelas da direita e recolhendo coeficientes por potências de [s), obtém-se (resumidamente) as contribuições para cada potência:
  • Coeficiente de s^{4}: A + C.
  • Coeficiente de s^{3}: 6A + B + 4C + D.
  • Coeficiente de s^{2}: 12A + 6B + 4C + 2D + E.
  • Coeficiente de s^{1}: 8A + 12B.
  • Coeficiente constante ( s^{0}): 8B.
A igualdade polinomial exige que os coeficientes à esquerda (da expressão s+1) sejam:
  • para s^{4},s^{3},s^{2}: zero;
  • para s^{1}: 1;
  • para s^{0}: 1.
Usando B=\dfrac{1}{8} e E=-\dfrac{1}{4}, escrevo as equações:
\begin{cases} A + C = 0,\\[4pt] 6A + B + 4C + D = 0,\\[4pt] 12A + 6B + 4C + 2D + E = 0,\\[4pt] 8A + 12B = 1,\\[4pt] 8B = 1\\ (\text{já usada}). \end{cases}á
Da penúltima equação ( 8A+12B=1\]) substituo \(B=\dfrac{1}{8}:
8A + 12\cdot\frac{1}{8}=1 \quad\Rightarrow\quad 8A + \frac{12}{8}=1 \quad\Rightarrow\quad 8A + \frac{3}{2}=1,
8A = 1-\frac{3}{2} = -\frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad A = -\frac{1}{16}.
Da primeira equação A + C = 0 segue
C = -A = \frac{1}{16}.
Agora use a equação dos coeficientes de s^{3}:
6A + B + 4C + D = 0.
Substituindo A=-\dfrac{1}{16}, B=\dfrac{1}{8}, C=\dfrac{1}{16}:
6\left(-\frac{1}{16}\right) + \frac{1}{8} + 4\left(\frac{1}{16}\right) + D = 0.
Calcule termo a termo:
-\frac{6}{16} + \frac{1}{8} + \frac{4}{16} + D = -\frac{3}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + D = 0.
Somando os três primeiros termos dá zero, logo D=0.
Verificação rápida na equação de s^{2} confirma a consistência (pode-se substituir os valores e ver que soma é zero).
Portanto os coeficientes finais são:
A=-\frac{1}{16},\quad B=\frac{1}{8},\quad C=\frac{1}{16},\quad D=0,\quad E=-\frac{1}{4}.]

Passo 5

Escrevo a decomposição completa com os coeficientes encontrados:
\frac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}} = -\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{s} + \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{s^{2}} + \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{s+2} + 0\cdot\frac{1}{(s+2)^{2}} -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{(s+2)^{3}}.

Passo 6

Aplicar a transformada de Laplace inversa termo a termo, usando as fórmulas citadas:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=t.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+2}\right\}=e^{-2t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s+2)^{3}}\right\}=\dfrac{t^{2}e^{-2t}}{2!}=\dfrac{t^{2}e^{-2t}}{2}.
Agora multiplico cada inversa pelo respectivo coeficiente:
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{s}\right\} = -\frac{1}{16},
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{s^{2}}\right\} = \frac{1}{8}\,t,
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{s+2}\right\} = \frac{1}{16}\,e^{-2t},
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{(s+2)^{3}}\right\} = -\frac{1}{4}\cdot\frac{t^{2}e^{-2t}}{2} = -\frac{1}{8}\,t^{2}e^{-2t}.

Passo 7

Somando todos os termos obtemos a função no tempo:
f(t)= -\frac{1}{16} + \frac{1}{8}\,t + \frac{1}{16}\,e^{-2t} - \frac{1}{8}\,t^{2}e^{-2t}.

Resposta

-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{8}t+\dfrac{1}{16}e^{-2t}-\dfrac{1}{8}t^{2}e^{-2t}

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