A função no domínio de s é \dfrac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}}.
O objetivo é encontrar a função de tempo f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}}.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática e fórmulas que vou usar):
A transformada inversa é linear, então posso decompor a função em frações mais simples e inverter termo a termo.
Para funções racionais com fatores lineares no denominador, o método padrão é decomposição em frações parciais.
Fórmulas básicas de transformada de Laplace / inversa que usarei (explicadas):
\mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}, logo \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1.
\mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1}{s^{2}}, logo \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=t.
Regra para termo deslocado: \mathcal{L}\{e^{-a t}g(t)\}=G(s+a). Em particular, \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s+a)^{n}}\right\}=\dfrac{t^{\,n-1}e^{-a t}}{(n-1)!}.
Essas fórmulas vêm de \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}} e da propriedade de translação no eixo s.
Vou decompor\frac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}}em termos da forma\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s+2}+\frac{D}{(s+2)^{2}}+\frac{E}{(s+2)^{3}},determinar A,B,C,D,E e depois aplicar as inversas listadas.
Passo 3
Montar a decomposição em frações parciais e obter a identidade algébrica.