14.2 Determine a Transformada de Laplace das funções:
f(t)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & 0 \leq t<3 \\\\ 2, & t \geq 3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(t)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & 0 \leq t<3,\\[4pt] 2, & t \geq 3, \end{array}\right.
e pede para determinar a Transformada de Laplace de f(t).
Informações relevantes que temos:
  • O valor de f(t) é nulo até t=3 e vale 2 para t\ge3.
  • A definição da Transformada de Laplace será usada para calcular \mathcal{L}\{f\}(s).]

Passo 2

Lembrete da definição da Transformada de Laplace: para uma função f(t) definida em [0,\infty),
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral converge tipicamente para \Re(s) suficientemente grande. Aqui vou usar essa integral direta para calcular \mathcal{L}\{f\}(s).

Passo 3

Observação útil (função degrau): a função dada pode ser escrita usando a função degrau unitário u(t-a), definida por
u(t-a)=\left\{\begin{array}{cc} 0,& t<a,\\[4pt] 1,& t\ge a. \end{array}\right.
Como f(t)=0 para t<3 e f(t)=2 para t\ge3, temos
f(t)=2\,u(t-3).
Escrever assim facilita reconhecer que se trata de uma constante “ligada” a partir de t=3.]

Passo 4

Cálculo direto pela definição: substituindo f(t)=2\,u(t-3) na integral da Laplace,
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} 2\,u(t-3)\,e^{-st}\,dt.
Como u(t-3)=0 para 0\le t<3 e u(t-3)=1 para t\ge3, a integral reduz-se a
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{3}^{\infty} 2\,e^{-st}\,dt.

Passo 5

Resolver a integral impropria passo a passo:
\int_{3}^{\infty} 2\,e^{-st}\,dt = 2\left[\int_{3}^{\infty} e^{-st}\,dt\right].
Calcule a primitiva: para \Re(s)>0,
\int e^{-st}\,dt = -\frac{1}{s}e^{-st}.
Aplicando os limites de 3 a \infty,
2\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{t=3}^{t=\infty} =2\left(0 - \left(-\frac{1}{s}e^{-3s}\right)\right) =2\cdot\frac{e^{-3s}}{s}.
A integral converge apenas para \Re(s)>0, então esse é o domínio de convergência.

Passo 6

Interpretação via teorema de deslocamento no tempo (chega como reforço rápido): a forma 2\,u(t-3) é equivalente ao caso especial do teorema que diz que \mathcal{L}\{g(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}G(s). Tomando g(t)\equiv 2 (constante, cuja Laplace é 2/s), obtemos novamente 2e^{-3s}/s. Isso confirma o resultado do cálculo direto.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{2e^{-3s}}{s},\quad \Re(s)>0

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