14 Como deve ser diluída uma solução aquosa de NaOH a fim de que seu título se reduza a 2 / 5 do inicial?

Passo 1

O enunciado pede que a solução aquosa de NaOH seja diluída de modo que o seu título (concentração) fique reduzido a \tfrac{2}{5} do valor inicial.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
  • concentração inicial: C_1 (não numérica, genérica);
  • concentração desejada após diluição: C_2=\tfrac{2}{5}C_1.
    O que se quer saber: como diluir — isto é, qual deve ser o volume final em relação ao volume inicial e quanto de água adicionar (ou em que proporção misturar).

Passo 2

Princípio físico usado (explicação didática): ao diluir uma solução sem adicionar ou remover soluto, a quantidade de soluto (massa de NaOH dissolvida) permanece constante. A concentração (título) é a razão entre a quantidade de soluto e o volume da solução, por isso vale a relação de diluição clássica:
C_1 V_1 = C_2 V_2,
onde
  • C_1 é a concentração inicial (título inicial),
  • V_1 é o volume inicial da solução,
  • C_2 é a concentração final desejada,
  • V_2 é o volume final após diluição.
    Essa fórmula vem de “mesma quantidade de soluto antes e depois”: \text{(concentração)}\times\text{(volume)} = \text{quantidade de soluto}çã.

Passo 3

Agora substituímos C_2 por \tfrac{2}{5}C_1 na fórmula e resolvemos para V_2. Primeiro a equação:
C_1 V_1 = C_2 V_2.
Substituindo C_2=\tfrac{2}{5}C_1 obtemos
C_1 V_1 = \left(\tfrac{2}{5}C_1\right) V_2.
Cancelando C_1 dos dois lados (pois C_1\neq0):
V_1 = \tfrac{2}{5} V_2.
Isolando V_2:
V_2 = \frac{V_1}{\tfrac{2}{5}} = \frac{5}{2}V_1.

Passo 4

Interpretação prática: o volume final deve ser \tfrac{5}{2} do volume inicial. O volume de água a ser adicionado é
V_{\text{água}} = V_2 - V_1 = \left(\tfrac{5}{2}-1\right)V_1=\tfrac{3}{2}V_1.á
Ou seja, para cada unidade de volume da solução inicial deve-se adicionar 1{,}5 vezes esse volume em água. Em termos de proporção solução:água isso é
V_1:V_{\text{água}} = 1:\tfrac{3}{2} = 2:3.á
Portanto, misturar 2 partes da solução inicial com 3 partes de água dá uma solução cuja concentração é \tfrac{2}{5} da original.

Passo 5

Exemplo numérico (prático para a prova): se eu começar com V_1=100\\ \text{mL} da solução, então
V_{\text{água}}=\tfrac{3}{2}\cdot100\\ \text{mL}=150\\ \text{mL},á
ficando V_2=250\\ \text{mL} e a concentração final \tfrac{2}{5}C_1. Dica rápida: escolha um volume inicial conveniente (por ex. 100\\ \text{mL} ou 200\\ \text{mL}) e calcule a água pela fórmula \tfrac{3}{2}V_1.

Resposta

Volume final V_2=\dfrac{5}{2}V_1.
Volume de água a adicionar V_{\text{água}}=\dfrac{3}{2}V_1.á
Proporção prática: misturar 2 partes da solução inicial com 3 partes de água.

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