2-14 Duas placas condutoras paralelas, infinitas. estão separadas por uma distãncia
. Se as placas possuírem densidades uniformes de carga
e
, respectivamente. em suas superfícies internas, obtenha uma expressão para o campo elétrico entre as placas. Demonstre que o campo elétrico nas regiões externas às placas é nulo. [Duas placas condutoras paralelas, carregadas. de área fīnita, produzem essencialmente o mesmo campo elétrico na região contida entre elas como foi determinado anteriormente, contanto que as dimensões das placas sejam grandes em comparação com a separação
; tal arranjo é denominado capacitor (veja o Capítulo 6).]
Passo 1
O enunciado dá duas placas condutoras paralelas e infinitas, separadas por uma distância
. Nas superfícies internas das placas há densidades de carga superficiais uniformes
e
, respectivamente. O que é pedido:
- Obter uma expressão para o campo elétrico na região entre as placas.
- Demonstrar que o campo elétrico nas regiões externas às placas é nulo.
Informações relevantes dadas:
- As placas são consideradas infinitas (ou muito largas), o que permite usar o resultado do campo de uma lâmina infinita de carga uniforme.
- As densidades de carga nas superfícies internas são
e .
Nada mais é perguntado; não é necessário depender depara a magnitude do campo entre as placas.
Passo 2
Relembrando e demonstrando o campo criado por uma lâmina infinita com densidade superficial
(essa é uma ferramenta que vamos usar varias vezes).
Conceito usado: Lei de Gauss para eletrostática. A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total interna dividida por
:
Para uma lâmina infinita e plana com densidade superficial
tomamos uma “caixa cilíndrica” (pílula) que corta a lâmina: duas faces planas paralelas, cada uma de área
, uma à esquerda e outra à direita da lâmina. Pelo simetria,
é perpendicular à lâmina e tem o mesmo módulo nas duas faces; não há fluxo pelas paredes laterais. Assim:
- Fluxo total:
- Carga interna:
Aplicando Gauss:
Interpretação do sinal/direção:
- Se
, o campo sai da lâmina para ambos os lados (apontando para fora da superfície). - Se
, o campo aponta para a lâmina (ou seja, para dentro).
Aquié a permissividade do vácuo e é o módulo do campo elétrico gerado por uma lâmina infinita com densidade .
Passo 3
Escolha de coordenadas e identificação das placas (isso facilita pensar nos sinais/direções):
- Colocar a placa da esquerda em
e a placa da direita em . - Suponha que a superfície interna da placa esquerda (voltada para a direita) tem densidade
(positiva) e a superfície interna da placa direita (voltada para a esquerda) tem densidade (negativa). Esta escolha é apenas um rótulo conveniente; o resultado final será o campo dirigido da placa positiva para a negativa. - Denotar o versor na direção da separação por
(apontando da placa esquerda para a placa direita).
Cada superfície plana (interna) atua como uma lâmina infinita com densidade
, então cada uma, isoladamente, gera um campo de módulo
em cada lado, com direção determinada pelo sinal da densidade.
Passo 4
Calcular o campo na região entre as placas (
) por superposição (campo total é soma vetorial dos campos produzidos por cada lâmina).
Contribuições:
- Placa esquerda com
: entre as placas (lado direito da lâmina) o campo produzido aponta para a direita ( ) com magnitude . - Placa direita com
: sendo negativa, o campo aponta em direção à placa; no lado esquerdo da placa direita (isto é, na região entre placas) o campo também aponta para a direita ( ) com magnitude .
Soma vetorial entre as placas:
Conclusão: o campo entre as placas é uniforme, de módulo
, e dirigido da placa com carga positiva para a placa com carga negativa (da esquerda para a direita no nosso sistema de coordenadas).
Passo 5
Calcular o campo nas regiões externas (à esquerda de
e à direita de
) e mostrar que é nulo.
Região à esquerda (
):
- Campo da placa esquerda (
) aponta para a esquerda (isto é, ) com módulo . - Campo da placa direita (
) vista a partir da região à esquerda aponta para a direita (pois aponta sempre em direção à placa negativa) com módulo .
Soma:
Região à direita (
):
- Campo da placa esquerda (
) na região direita aponta para a direita ( ) com módulo . - Campo da placa direita (
) na região direita aponta para a esquerda ( ) com módulo .
Soma:
Portanto, fora do conjunto das duas placas o campo elétrico resultante é nulo.
Passo 6
Comentário físico curto (para fixar a intuição):
- O resultado independe de
: as lâminas infinitas produzem campos constantes que não decaem com a distância, por isso a soma entre elas é independente da separação. - Para placas condutoras reais e de área finita, este resultado é aproximado quando as dimensões laterais são muito maiores que
(região central do capacitor). - A direção do campo foi do lado positivo para o negativo; entre placas o campo é uniforme e forte (
), e externamente as contribuições se cancelam.