2-14 Duas placas condutoras paralelas, infinitas. estão separadas por uma distãncia d. Se as placas possuírem densidades uniformes de carga \sigma e -\sigma, respectivamente. em suas superfícies internas, obtenha uma expressão para o campo elétrico entre as placas. Demonstre que o campo elétrico nas regiões externas às placas é nulo. [Duas placas condutoras paralelas, carregadas. de área fīnita, produzem essencialmente o mesmo campo elétrico na região contida entre elas como foi determinado anteriormente, contanto que as dimensões das placas sejam grandes em comparação com a separação d; tal arranjo é denominado capacitor (veja o Capítulo 6).]

Passo 1

O enunciado dá duas placas condutoras paralelas e infinitas, separadas por uma distância d. Nas superfícies internas das placas há densidades de carga superficiais uniformes \sigma e -\sigma, respectivamente. O que é pedido:
  • Obter uma expressão para o campo elétrico na região entre as placas.
  • Demonstrar que o campo elétrico nas regiões externas às placas é nulo.
Informações relevantes dadas:
  • As placas são consideradas infinitas (ou muito largas), o que permite usar o resultado do campo de uma lâmina infinita de carga uniforme.
  • As densidades de carga nas superfícies internas são \sigma e -\sigma.
    Nada mais é perguntado; não é necessário depender de d para a magnitude do campo entre as placas.

Passo 2

Relembrando e demonstrando o campo criado por uma lâmina infinita com densidade superficial \sigma (essa é uma ferramenta que vamos usar varias vezes).
Conceito usado: Lei de Gauss para eletrostática. A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total interna dividida por \varepsilon_0:
\Phi=\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Para uma lâmina infinita e plana com densidade superficial \sigma tomamos uma “caixa cilíndrica” (pílula) que corta a lâmina: duas faces planas paralelas, cada uma de área A, uma à esquerda e outra à direita da lâmina. Pelo simetria, \vec{E} é perpendicular à lâmina e tem o mesmo módulo nas duas faces; não há fluxo pelas paredes laterais. Assim:
  • Fluxo total: \Phi = E A + E A = 2 E A.
  • Carga interna: Q_{\text{int}}=\sigma A.
Aplicando Gauss:
2 E A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
Interpretação do sinal/direção:
  • Se \sigma>0, o campo sai da lâmina para ambos os lados (apontando para fora da superfície).
  • Se \sigma<0, o campo aponta para a lâmina (ou seja, para dentro).
    Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e E é o módulo do campo elétrico gerado por uma lâmina infinita com densidade \sigma.

Passo 3

Escolha de coordenadas e identificação das placas (isso facilita pensar nos sinais/direções):
  • Colocar a placa da esquerda em x=0 e a placa da direita em x=d.
  • Suponha que a superfície interna da placa esquerda (voltada para a direita) tem densidade \sigma (positiva) e a superfície interna da placa direita (voltada para a esquerda) tem densidade -\sigma (negativa). Esta escolha é apenas um rótulo conveniente; o resultado final será o campo dirigido da placa positiva para a negativa.
  • Denotar o versor na direção da separação por \hat{x} (apontando da placa esquerda para a placa direita).
Cada superfície plana (interna) atua como uma lâmina infinita com densidade \pm\sigma, então cada uma, isoladamente, gera um campo de módulo \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} em cada lado, com direção determinada pelo sinal da densidade.

Passo 4

Calcular o campo na região entre as placas ( 0<x<d) por superposição (campo total é soma vetorial dos campos produzidos por cada lâmina).
Contribuições:
  • Placa esquerda com \sigma>0: entre as placas (lado direito da lâmina) o campo produzido aponta para a direita ( +\hat{x}) com magnitude \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
  • Placa direita com -\sigma: sendo negativa, o campo aponta em direção à placa; no lado esquerdo da placa direita (isto é, na região entre placas) o campo também aponta para a direita ( +\hat{x}) com magnitude \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
Soma vetorial entre as placas:
\vec{E}_{\text{entre}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{x} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{x} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat{x}.
Conclusão: o campo entre as placas é uniforme, de módulo \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}, e dirigido da placa com carga positiva para a placa com carga negativa (da esquerda para a direita no nosso sistema de coordenadas).

Passo 5

Calcular o campo nas regiões externas (à esquerda de x=0 e à direita de x=d) e mostrar que é nulo.
Região à esquerda ( x<0):
  • Campo da placa esquerda ( +\sigma) aponta para a esquerda (isto é, -\hat{x}) com módulo \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
  • Campo da placa direita ( -\sigma) vista a partir da região à esquerda aponta para a direita (pois aponta sempre em direção à placa negativa) com módulo \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
Soma:
\vec{E}_{x<0} = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{x} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{x} = \vec{0}.
Região à direita ( x>d):
  • Campo da placa esquerda ( +\sigma) na região direita aponta para a direita ( +\hat{x}) com módulo \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
  • Campo da placa direita ( -\sigma) na região direita aponta para a esquerda ( -\hat{x}) com módulo \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
Soma:
\vec{E}_{x>d} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{x} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{x} = \vec{0}.
Portanto, fora do conjunto das duas placas o campo elétrico resultante é nulo.

Passo 6

Comentário físico curto (para fixar a intuição):
  • O resultado independe de d: as lâminas infinitas produzem campos constantes que não decaem com a distância, por isso a soma entre elas é independente da separação.
  • Para placas condutoras reais e de área finita, este resultado é aproximado quando as dimensões laterais são muito maiores que d (região central do capacitor).
  • A direção do campo foi do lado positivo para o negativo; entre placas o campo é uniforme e forte ( \sigma/\varepsilon_0), e externamente as contribuições se cancelam.

Resposta

\displaystyle \vec{E}_{\text{entre}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat{n} (entre as placas, dirigida da placa positiva para a negativa)
\displaystyle \vec{E}_{\text{externo}}=\vec{0}

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