2-26 Obtenha o campo elétrico de um dipolo puntual através do cálculo do gradiente de
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (tudo que vamos usar):
- É dada a potencial elétrico de um dipolo puntual
onde
é o momento de dipolo (vetor constante),
é o vetor posição,
e
é uma constante (no caso usual seria
, mas aqui usamos o símbolo dado).
- O objetivo é obter o campo elétrico
. Lembre-se da relação entre potencial e campo:
- Observação importante: a expressão é válida para
(fora da origem), pois em há singularidade.
Passo 2
Plano de ataque e regras de cálculo que vamos usar:
- Vamos calcular
do produto aplicando a regra do produto para o operador gradiente:
com
e
.
- Definição do operador gradiente em coordenadas cartesianas (só para lembrar):
- Também usaremos a regra da cadeia quando precisarmos derivar uma função de
: se é função escalar de então
e
(pois
, etc.).
Passo 3
Calcular
:
- Escrevendo em componentes,
. - Derivando componente a componente:
- Conclusão usada depois:
Passo 4
Calcular
usando cadeia e
:
- Considere
. Então . - Temos
. - Aplicando a regra da cadeia:
- Portanto:
Passo 5
Aplicar a regra do produto para obter
:
- Usando
e ,
- Substituindo os resultados dos passos anteriores:
- Colocando em forma mais compacta:
Passo 6
Calcular o campo elétrico
:
- Como
, temos
- Usando o resultado do passo 5:
- Portanto
- Reorganizando os sinais para a forma mais comum:
Passo 7
Escrever em alternativa com o vetor unitário radial e comentar validade:
- Usando
obtemos a forma compacta
- Observações finais: essa expressão descreve o campo de dipolo puntual fora da origem (
). No ponto a expressão diverge e é necessário tratar cargas pontuais / densidades com distribuições de Dirac se quiser incluir a origem.