2-26 Obtenha o campo elétrico de um dipolo puntual através do cálculo do gradiente de
\varphi=\frac{1}{4 \pi \rho_{0}} \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{r^{3}} .

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (tudo que vamos usar):
  • É dada a potencial elétrico de um dipolo puntual
\varphi(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi \rho_{0}}\,\frac{\mathbf p\cdot\mathbf r}{r^{3}},
onde \mathbf p é o momento de dipolo (vetor constante), \mathbf r é o vetor posição, r=|\mathbf r| e \rho_{0} é uma constante (no caso usual seria \varepsilon_{0}, mas aqui usamos o símbolo dado).
  • O objetivo é obter o campo elétrico \mathbf E(\mathbf r). Lembre-se da relação entre potencial e campo:
\mathbf E(\mathbf r) = -\nabla \varphi(\mathbf r).
  • Observação importante: a expressão é válida para \mathbf r\neq\mathbf 0 (fora da origem), pois em r=0 há singularidade.

Passo 2

Plano de ataque e regras de cálculo que vamos usar:
  • Vamos calcular \nabla do produto (\mathbf p\cdot\mathbf r)\,r^{-3} aplicando a regra do produto para o operador gradiente:
\nabla(fg)=f\,\nabla g + g\,\nabla f,
com f=(\mathbf p\cdot\mathbf r) e g=r^{-3}.
  • Definição do operador gradiente em coordenadas cartesianas (só para lembrar):
\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right).
  • Também usaremos a regra da cadeia quando precisarmos derivar uma função de r: se g(r) é função escalar de r então
\nabla g(r)=g'(r)\,\nabla r,
e \nabla r = \dfrac{\mathbf r}{r} (pois \partial r/\partial x = x/r, etc.).

Passo 3

Calcular \nabla(\mathbf p\cdot\mathbf r):
  • Escrevendo em componentes, \mathbf p\cdot\mathbf r = p_x x + p_y y + p_z z.
  • Derivando componente a componente:
\nabla(\mathbf p\cdot\mathbf r)=\left(\frac{\partial}{\partial x}(p_x x+p_y y+p_z z),\dots\right)=(p_x,p_y,p_z)=\mathbf p.
  • Conclusão usada depois:
\nabla(\mathbf p\cdot\mathbf r)=\mathbf p.

Passo 4

Calcular \nabla(r^{-3}) usando cadeia e \nabla r:
  • Considere g(r)=r^{-3}. Então g'(r)=-3 r^{-4}.
  • Temos \nabla r = \dfrac{\mathbf r}{r}.
  • Aplicando a regra da cadeia:
\nabla(r^{-3}) = g'(r)\,\nabla r = -3 r^{-4}\,\frac{\mathbf r}{r} = -3\,\frac{\mathbf r}{r^{5}}.
  • Portanto:
\nabla(r^{-3}) = -3\,\frac{\mathbf r}{r^{5}}.

Passo 5

Aplicar a regra do produto para obter \nabla\big((\mathbf p\cdot\mathbf r)r^{-3}\big):
  • Usando f=(\mathbf p\cdot\mathbf r) e g=r^{-3},
\nabla\big((\mathbf p\cdot\mathbf r)r^{-3}\big) = (\mathbf p\cdot\mathbf r)\,\nabla(r^{-3}) + r^{-3}\,\nabla(\mathbf p\cdot\mathbf r).
  • Substituindo os resultados dos passos anteriores:
\nabla\big((\mathbf p\cdot\mathbf r)r^{-3}\big) = (\mathbf p\cdot\mathbf r)\left(-3\frac{\mathbf r}{r^{5}}\right) + r^{-3}\,\mathbf p.
  • Colocando em forma mais compacta:
\nabla\big((\mathbf p\cdot\mathbf r)r^{-3}\big) = \frac{\mathbf p}{r^{3}} - 3\,\frac{(\mathbf p\cdot\mathbf r)\mathbf r}{r^{5}}.

Passo 6

Calcular o campo elétrico \mathbf E(\mathbf r) = -\nabla\varphi(\mathbf r):
  • Como \varphi(\mathbf r)=\dfrac{1}{4\pi \rho_{0}}(\mathbf p\cdot\mathbf r)r^{-3}, temos
\nabla\varphi(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi \rho_{0}}\nabla\big((\mathbf p\cdot\mathbf r)r^{-3}\big).
  • Usando o resultado do passo 5:
\nabla\varphi(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi \rho_{0}}\left(\frac{\mathbf p}{r^{3}} - 3\frac{(\mathbf p\cdot\mathbf r)\mathbf r}{r^{5}}\right).
  • Portanto
\mathbf E(\mathbf r) = -\nabla\varphi(\mathbf r) = -\frac{1}{4\pi \rho_{0}}\left(\frac{\mathbf p}{r^{3}} - 3\frac{(\mathbf p\cdot\mathbf r)\mathbf r}{r^{5}}\right).
  • Reorganizando os sinais para a forma mais comum:
\mathbf E(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi \rho_{0}}\left(3\frac{(\mathbf p\cdot\mathbf r)\mathbf r}{r^{5}} - \frac{\mathbf p}{r^{3}}\right).

Passo 7

Escrever em alternativa com o vetor unitário radial e comentar validade:
  • Usando \hat{\mathbf r}=\dfrac{\mathbf r}{r} obtemos a forma compacta
\mathbf E(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi \rho_{0} r^{3}}\left(3(\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r})\hat{\mathbf r}-\mathbf p\right).
  • Observações finais: essa expressão descreve o campo de dipolo puntual fora da origem ( \mathbf r\neq\mathbf 0). No ponto \mathbf r=\mathbf 0 a expressão diverge e é necessário tratar cargas pontuais / densidades com distribuições de Dirac se quiser incluir a origem.

Resposta

\mathbf E(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi \rho_{0}}\left(3\frac{(\mathbf p\cdot\mathbf r)\mathbf r}{r^{5}}-\frac{\mathbf p}{r^{3}}\right)
\mathbf E(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi \rho_{0} r^{3}}\left(3(\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r})\hat{\mathbf r}-\mathbf p\right)

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