14 EDO de Primeira Ordem separáveis
Mostre como encontrar a solução geral das equações diferenciais separáveis
y{\prime}=\frac{x{2}}{y}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial dada. Informações dadas:
  • A equação diferencial é \displaystyle y'=\frac{x^{2}}{y}.
  • Não há condições iniciais fornecidas (apenas a equação e a variável independente x).
O que se pede: obter a família de soluções gerais y(x) que satisfazem essa equação diferencial, explicitando as constantes de integração e as restrições necessárias (por exemplo, domínio onde a solução é válida).

Passo 2

Ideia básica (sem resolver ainda): esta equação é do tipo onde a derivada y' pode ser escrita como uma função do produto de uma função de x com uma função de y — ou seja, é uma equação separável. Uma equação diferencial de primeira ordem é chamada separável quando pode ser posta na forma
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y),
pois aí é possível “separar” os termos envolvendo y para um lado e os envolvendo x para o outro e depois integrar ambos os lados. Não se resolve nada ainda; só fica claro o objetivo: separar variáveis e integrar.

Passo 3

Aplicando a ideia à equação dada. Escrever y'=\dfrac{dy}{dx}, então
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y}.
Agora separa-se colocando todos os fatores com y de um lado e com x do outro. Multiplicando ambos os lados por y\,dx (assumindo y\neq0 localmente) obtemos
y\,dy = x^{2}\,dx.
Esta é a separação de variáveis: o lado esquerdo depende só de y, o lado direito só de x.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Quando temos y\,dy = x^{2}\,dx, podemos integrar em y e em x separadamente. A regra de integração que vamos usar é a regra potência: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.
No nosso caso, o integrando à esquerda é y^{1} e à direita é x^{2}. Então integramos:
\int y\,dy = \int x^{2}\,dx.

Passo 5

Calcular explicitamente as integrais usando a regra potência:
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2} + C_{1}, \qquad \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C_{2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes de integração. Igualando as duas expressões (já que vinham da mesma igualdade) obtemos
\frac{y^{2}}{2} + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} + C_{2}.

Passo 6

Combinar as constantes de integração em uma única constante. Subtraindo C_{1} de ambos os lados e definindo C:=C_{2}-C_{1} (que é uma constante arbitrária real), temos
\frac{y^{2}}{2} = \frac{x^{3}}{3} + C.
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar,
y^{2} = \frac{2}{3}\,x^{3} + 2C.
Renomeando 2C simplesmente como C (ainda uma constante arbitrária real), fica mais limpo:
y^{2} = \frac{2}{3}\,x^{3} + C.

Passo 7

Resolver para y. Tomando raiz quadrada de ambos os lados obtemos as duas possíveis ramas (o sinal depende da condição inicial):
y(x)=\pm\sqrt{\frac{2}{3}\,x^{3}+C}.
Aqui C é uma constante real arbitrária determinada por uma condição inicial, caso exista. Observações importantes:
  • A solução só é válida nos intervalos de x onde o radicando \dfrac{2}{3}x^{3}+C é não negativo, porque a raiz quadrada real exige argumento \ge 0.
  • A escolha do sinal + ou - depende da condição inicial y(x_{0}). Cada valor de C e cada escolha de sinal define uma solução em determinado domínio.
  • A constante C já incorpora as constantes de integração originais; não é necessário manter C_{1} e C_{2} separados.

Passo 8

Verificação rápida (checar que a expressão realmente satisfaz a EDO). Seja y(x)=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}x^{3}+C}. Diferenciando (regra da cadeia) obtemos
y'=\pm\frac{1}{2}\bigg(\frac{2}{3}x^{3}+C\bigg)^{-1/2}\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{3}x^{3}+C\right).
Como \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{2}{3}x^{3}+C\right)=2x^{2}, segue
y'=\pm\frac{1}{2}\bigg(\frac{2}{3}x^{3}+C\bigg)^{-1/2}\cdot 2x^{2} = \pm \frac{x^{2}}{\sqrt{\dfrac{2}{3}x^{3}+C}}.
Usando y=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}x^{3}+C} vemos que o sinal \pm cancela e
y'=\frac{x^{2}}{y},
o que confirma que a solução encontrada está correta (onde as expressões estão bem definidas).

Passo 9

Observações finais e cuidados para a prova (dicas práticas):
  • Sempre verificar se y=0 é solução. Aqui y\equiv0 não pode ser solução porque o lado direito \dfrac{x^{2}}{y} ficaria indefinido. Portanto não incluir y\equiv0.
  • Ao aplicar a separação, multiplicar por y\,dx exige que se tenha cuidado com pontos onde y=0; essas eventuais soluções constantes devem ser checadas separadamente.
  • Em questões com condição inicial y(x_{0})=y_{0}, substitui-se x=x_{0}, y=y_{0} na expressão y^{2}=\dfrac{2}{3}x^{3}+C para determinar C, e então escolher o sinal de acordo com o sinal de y_{0}.

Resposta

y(x)=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}\,x^{3}+C}, com C\in\mathbb{R} e domínio onde \dfrac{2}{3}\,x^{3}+C\ge 0.

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