14 EDO de Primeira Ordem separáveis
Mostre como encontrar a solução geral das equações diferenciais separáveis
y{\prime}=\frac{x{2}}{y}
y{\prime}=\frac{x{2}}{y}
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial dada. Informações dadas:
- A equação diferencial é
. - Não há condições iniciais fornecidas (apenas a equação e a variável independente
).
O que se pede: obter a família de soluções gerais
que satisfazem essa equação diferencial, explicitando as constantes de integração e as restrições necessárias (por exemplo, domínio onde a solução é válida).
Passo 2
Ideia básica (sem resolver ainda): esta equação é do tipo onde a derivada
pode ser escrita como uma função do produto de uma função de
com uma função de
— ou seja, é uma equação separável. Uma equação diferencial de primeira ordem é chamada separável quando pode ser posta na forma
pois aí é possível “separar” os termos envolvendo
para um lado e os envolvendo
para o outro e depois integrar ambos os lados. Não se resolve nada ainda; só fica claro o objetivo: separar variáveis e integrar.
Passo 3
Aplicando a ideia à equação dada. Escrever
, então
Agora separa-se colocando todos os fatores com
de um lado e com
do outro. Multiplicando ambos os lados por
(assumindo
localmente) obtemos
Esta é a separação de variáveis: o lado esquerdo depende só de
, o lado direito só de
.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Quando temos
, podemos integrar em
e em
separadamente. A regra de integração que vamos usar é a regra potência: para
,
No nosso caso, o integrando à esquerda é
e à direita é
. Então integramos:
Passo 5
Calcular explicitamente as integrais usando a regra potência:
onde
e
são constantes de integração. Igualando as duas expressões (já que vinham da mesma igualdade) obtemos
Passo 6
Combinar as constantes de integração em uma única constante. Subtraindo
de ambos os lados e definindo
(que é uma constante arbitrária real), temos
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar,
Renomeando
simplesmente como
(ainda uma constante arbitrária real), fica mais limpo:
Passo 7
Resolver para
. Tomando raiz quadrada de ambos os lados obtemos as duas possíveis ramas (o sinal depende da condição inicial):
Aqui
é uma constante real arbitrária determinada por uma condição inicial, caso exista. Observações importantes:
- A solução só é válida nos intervalos de
onde o radicando é não negativo, porque a raiz quadrada real exige argumento . - A escolha do sinal
ou depende da condição inicial . Cada valor de e cada escolha de sinal define uma solução em determinado domínio. - A constante
já incorpora as constantes de integração originais; não é necessário manter e separados.
Passo 8
Verificação rápida (checar que a expressão realmente satisfaz a EDO). Seja
. Diferenciando (regra da cadeia) obtemos
Como
, segue
Usando
vemos que o sinal
cancela e
o que confirma que a solução encontrada está correta (onde as expressões estão bem definidas).
Passo 9
Observações finais e cuidados para a prova (dicas práticas):
- Sempre verificar se
é solução. Aqui não pode ser solução porque o lado direito ficaria indefinido. Portanto não incluir . - Ao aplicar a separação, multiplicar por
exige que se tenha cuidado com pontos onde ; essas eventuais soluções constantes devem ser checadas separadamente. - Em questões com condição inicial
, substitui-se , na expressão para determinar , e então escolher o sinal de acordo com o sinal de .