1. \lim _{x \rightarrow-3}\left(2 x^{3}+6 x^{2}-9\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a -3 da expressão
2x^{3}+6x^{2}-9.
Informações dadas:
  • A função dentro do limite é a expressão polinomial 2x^{3}+6x^{2}-9.
  • O ponto de aproximação é x\to-3.
    Não há outras condições nem indícios de descontinuidade no enunciado.

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo): polinômios e substituição direta.
  • Um limite \lim_{x\to a} f(x) pergunta qual valor f(x) se aproxima quando x fica cada vez mais próximo de a.
  • Uma função f é contínua em a se \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
  • Polinômios são funções construídas por somas e produtos de x e constantes. As funções identidade x, constantes, soma e produto são contínuas, logo todo polinômio é contínuo em todo ponto real.
  • Conclusão prática: para um polinômio p(x) vale
\lim_{x\to a} p(x)=p(a),
ou seja, basta substituir x=a (substituição direta). Isso evita passos complicados na prova — é um teorema que justifica a substituição.

Passo 3

Verificar se podemos usar substituição direta aqui:
  • A função 2x^{3}+6x^{2}-9 é um polinômio, logo é contínua em x=-3.
  • Portanto \lim_{x\to-3}\bigl(2x^{3}+6x^{2}-9\bigr)=2(-3)^{3}+6(-3)^{2}-9.
    Agora calcular esse valor passo a passo.

Passo 4

Calcular as potências e os produtos com cuidado (etapa a etapa, sem pular contas):
  • Primeiro as potências: (-3)^{3} = -27,\qquad (-3)^{2}=9.
  • Multiplicando pelos coeficientes: 2\cdot(-27) = -54,\qquad 6\cdot 9 = 54.
  • Somando tudo: -54 + 54 - 9 = 0 - 9 = -9.

Passo 5

Interpretação/checagem rápida alternativa (opcional, para ganhar confiança na prova):
  • Escrever a expressão como 2x^{3}+6x^{2}-9 = 2x^{2}(x+3)-9.
  • Ao substituir x=-3, o termo 2x^{2}(x+3) fica 2\cdot 9\cdot 0=0, restando -9. Mesma resposta, confirmação da conta.

Resposta

-9

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