Mostre como encontrar a solução geral dos problemas de valores iniciais abaixo
y^{\prime}-y=2 x e^{2 x}, y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial com a equação diferencial e a condição inicial. Vou listar claramente o que temos e o que se pede.
  • Equação: y' - y = 2x e^{2x}.
  • Condição inicial: y(0)=1.
O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial para todo x (solução geral particular que respeite a condição inicial).

Passo 2

Vamos preparar a equação para aplicar um método que nos dê diretamente a solução passo a passo. A equação está na forma
y' + P(x)\,y = Q(x),
onde, comparando com \;y' - y = 2x e^{2x}\;, temos P(x) = -1,\qquad Q(x)=2x e^{2x}.
A técnica que vou usar é o fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)y(x). O fator integrante é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Aqui \;P(x)=-1, então
\mu(x)=\exp\!\left(\int -1\,dx\right)=\exp(-x)=e^{-x}.

Passo 3

Multiplico toda a equação original por \mu(x)=e^{-x}. Assim
e^{-x}y' - e^{-x}y = 2x e^{2x} e^{-x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{-x}y; isto é,
\big(e^{-x}y\big)' = e^{-x}y' + (e^{-x})' y = e^{-x}y' - e^{-x}y.
Portanto a equação fica
\big(e^{-x}y\big)' = 2x e^{x},
pois e^{2x}e^{-x}=e^{x}.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \big(e^{-x}y\big)'\,dx = \int 2x e^{x}\,dx.
O lado esquerdo integra para e^{-x}y. No lado direito precisamos calcular \int 2x e^{x}\,dx. Vou fazer por partes; a fórmula é \int u\,dv = uv - \int v\,du. Escolho
u=2x\quad\Rightarrow\quad du=2\,dx, \qquad dv=e^{x}dx\quad\Rightarrow\quad v=e^{x}.
Aplicando partes:
\int 2x e^{x}\,dx = 2x e^{x} - \int 2 e^{x}\,dx = 2x e^{x} - 2 e^{x} + C.
Posso escrever o resultado como \;e^{x}(2x-2)+C.
Assim, após integrar,
e^{-x}y = e^{x}(2x-2) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolo y multiplicando por e^{x}:
y(x) = e^{2x}(2x-2) + C e^{x}.
Esta é a solução geral (com a constante C). Agora uso a condição inicial \;y(0)=1\; para determinar C. Substituindo x=0:
y(0) = e^{0}(2\cdot 0 - 2) + C e^{0} = -2 + C = 1.
Portanto \;C = 3.

Passo 6

Substituindo C=3 na solução geral, obtemos a solução que satisfaz a condição inicial:
y(x) = e^{2x}(2x-2) + 3 e^{x}.

Passo 7

(Facultativo, verificação rápida) Posso verificar diferenciando y:
y' = \frac{d}{dx}\big(e^{2x}(2x-2)\big) + \frac{d}{dx}\big(3e^{x}\big) = e^{2x}(4x-2) + 3e^{x}.
Então
y' - y = \big(e^{2x}(4x-2) + 3e^{x}\big) - \big(e^{2x}(2x-2) + 3e^{x}\big) = e^{2x}(2x) = 2x e^{2x},
que confere com a equação original.

Resposta

y(x)=e^{2x}(2x-2)+3e^{x}

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