Mostre como encontrar a solução geral dos problemas de valores iniciais abaixo
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial com a equação diferencial e a condição inicial. Vou listar claramente o que temos e o que se pede.
- Equação:
- Condição inicial:
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaça a equação diferencial para todo
(solução geral particular que respeite a condição inicial).
Passo 2
Vamos preparar a equação para aplicar um método que nos dê diretamente a solução passo a passo. A equação está na forma
onde, comparando com
, temos
A técnica que vou usar é o fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de
. O fator integrante é dado por
Aqui
, então
Passo 3
Multiplico toda a equação original por
. Assim
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
; isto é,
Portanto a equação fica
pois
.
Passo 4
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra para
. No lado direito precisamos calcular
. Vou fazer por partes; a fórmula é
. Escolho
Aplicando partes:
Posso escrever o resultado como
.
Assim, após integrar,
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Isolo
multiplicando por
:
Esta é a solução geral (com a constante
). Agora uso a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
Portanto
Passo 6
Substituindo
na solução geral, obtemos a solução que satisfaz a condição inicial:
Passo 7
(Facultativo, verificação rápida) Posso verificar diferenciando
:
Então
que confere com a equação original.