Mostre como encontrar a solução geral dos problemas de valores iniciais abaixo
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVIs) com a equação diferencial e a condição inicial para
:
O que é pedido:
- Encontrar a solução geral do problema de valor inicial, ou seja, a função
definida para que satisfaz a equação diferencial e a condição .
Informações relevantes dadas:
- A equação envolve
(derivada de em relação a ), coeficiente multiplicativo multiplicando , e termo não-homogêneo . - A condição inicial é
. - O domínio indicado é
(isso permite usar e operações que exigem ).
Passo 2
Organizar a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem (forma útil para aplicar o método a seguir). Colocar a equação como
onde aqui podemos identificar
Explicação didática: escrever a equação nesse formato é só nomear o coeficiente que multiplica
por
e o lado direito por
. Isso facilita aplicar uma técnica padrão que transforma a equação em uma forma integrável diretamente.
Passo 3
Introduzir o fator integrante
. A ideia do fator integrante é encontrar uma função
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torne a derivada de
. A fórmula prática para
é
Aqui
, então calculamos
onde foi usada a antiderivada de
e a propriedade dos logaritmos. Portanto
já que
garante que
está bem definida e
retorna o argumento.
Breve justificativa da técnica: se
, então
e
por isso multiplicar a equação original por
faz o lado esquerdo virar exatamente
.
Passo 4
Multiplicar a equação original pelo fator integrante
. Temos:
Simplificando o segundo termo à esquerda e o lado direito:
Pelo raciocínio do passo anterior, a esquerda é exatamente a derivada de
:
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Integramos a igualdade
para obter
onde
é a constante de integração (real). Explicando: a integral de
é
, e cada vez que se integra precisamos adicionar uma constante arbitrária.
Passo 6
Isolar
para obter a solução geral da equação diferencial (antes de aplicar a condição inicial). Dividindo por
(lembrando que
, então divisão por
é válida):
Esta é a solução geral do tipo família de soluções, parametrizada pela constante
.
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar a constante
. Substituindo
em
:
Como
, isso dá
Portanto a constante que satisfaz a condição inicial é
.
Passo 8
Substituir
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz o PVI:
Comentário final rápido: essa solução é bem definida para
e satisfaz tanto a equação diferencial quanto
. Você fez direitinho!