Mostre como encontrar a solução geral dos problemas de valores iniciais abaixo
y^{\prime}+\left(\frac{2}{x}\right) y=\frac{(\cos (x))}{x^{2}}, y(\pi)=0, x>0

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVIs) com a equação diferencial e a condição inicial para x>0:
y^{\prime}+\left(\frac{2}{x}\right) y=\frac{\cos(x)}{x^{2}},\qquad y(\pi)=0.
O que é pedido:
  • Encontrar a solução geral do problema de valor inicial, ou seja, a função y(x) definida para x>0 que satisfaz a equação diferencial e a condição y(\pi)=0.
Informações relevantes dadas:
  • A equação envolve y^{\prime} (derivada de y em relação a x), coeficiente multiplicativo \dfrac{2}{x} multiplicando y, e termo não-homogêneo \dfrac{\cos(x)}{x^{2}}.
  • A condição inicial é y(\pi)=0.
  • O domínio indicado é x>0 (isso permite usar \ln(x) e operações que exigem x>0).

Passo 2

Organizar a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem (forma útil para aplicar o método a seguir). Colocar a equação como
y'+P(x)\,y=Q(x),
onde aqui podemos identificar
P(x)=\frac{2}{x},\qquad Q(x)=\frac{\cos(x)}{x^{2}}.
Explicação didática: escrever a equação nesse formato é só nomear o coeficiente que multiplica y por P(x) e o lado direito por Q(x). Isso facilita aplicar uma técnica padrão que transforma a equação em uma forma integrável diretamente.

Passo 3

Introduzir o fator integrante \mu(x). A ideia do fator integrante é encontrar uma função \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)\,y. A fórmula prática para \mu(x) é
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Aqui P(x)=\dfrac{2}{x}, então calculamos
\int P(x)\,dx=\int \frac{2}{x}\,dx=2\ln x=\ln\bigl(x^{2}\bigr),
onde foi usada a antiderivada de 1/x e a propriedade dos logaritmos. Portanto
\mu(x)=\exp\!\bigl(\ln(x^{2})\bigr)=x^{2},
já que x>0 garante que \ln(x^{2}) está bem definida e \exp(\ln(\cdot)) retorna o argumento.
Breve justificativa da técnica: se \mu(x)=\exp\!\left(\int P\right), então \mu'(x)=P(x)\mu(x) e
\frac{d}{dx}\bigl(\mu(x)\,y\bigr)=\mu(x)\,y'+\mu'(x)\,y=\mu(x)\bigl(y'+P(x)y\bigr),
por isso multiplicar a equação original por \mu faz o lado esquerdo virar exatamente \dfrac{d}{dx}(\mu y).

Passo 4

Multiplicar a equação original pelo fator integrante \mu(x)=x^{2}. Temos:
x^{2}\,y' + x^{2}\cdot\frac{2}{x}\,y = x^{2}\cdot\frac{\cos x}{x^{2}}.
Simplificando o segundo termo à esquerda e o lado direito:
x^{2}\,y' + 2x\,y = \cos x.
Pelo raciocínio do passo anterior, a esquerda é exatamente a derivada de x^{2}y:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr)=\cos x.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Integramos a igualdade
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr)=\cos x
para obter
x^{2}y=\int \cos x\,dx = \sin x + C,
onde C é a constante de integração (real). Explicando: a integral de \cos x é \sin x, e cada vez que se integra precisamos adicionar uma constante arbitrária.

Passo 6

Isolar y para obter a solução geral da equação diferencial (antes de aplicar a condição inicial). Dividindo por x^{2} (lembrando que x>0, então divisão por x^{2} é válida):
y(x)=\frac{\sin x + C}{x^{2}}=\frac{\sin x}{x^{2}}+\frac{C}{x^{2}}.
Esta é a solução geral do tipo família de soluções, parametrizada pela constante C.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(\pi)=0 para determinar a constante C. Substituindo x=\pi em y(x):
y(\pi)=\frac{\sin\pi + C}{\pi^{2}}=0.
Como \sin\pi=0, isso dá
\frac{C}{\pi^{2}}=0\quad\Rightarrow\quad C=0.
Portanto a constante que satisfaz a condição inicial é C=0.

Passo 8

Substituir C=0 na solução geral para obter a solução particular que satisfaz o PVI:
y(x)=\frac{\sin x}{x^{2}},\qquad x>0.
Comentário final rápido: essa solução é bem definida para x>0 e satisfaz tanto a equação diferencial quanto y(\pi)=0. Você fez direitinho!

Resposta

y(x)=\frac{\sin x}{x^{2}},\qquad x>0

Exercícios relacionados