(14) Exercícios complementares

  1. Calcule a geratriz, a área lateral e a área total de um cone reto de raio igual a 3 m e altura igual a 4 m .
  2. O volume de um cone equilátero é de 9 \pi \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{3}. Determine a área lateral e a área total.
  3. Num cone reto, cuja base tem área igual a 27 \pi \mathrm{~cm}^{2}, uma geratriz forma um ângulo de 60^{\circ} com eixo. Calcule o volume.
  4. A área total de um cone equilátero mede 50 \pi \mathrm{~cm}^{2}. Calcule a medida de sua altura.
  5. A base de um cone reto está inscrita num quadrado de 6 cm de lado. Sabendo que a geratriz do cone mede 5 cm . Calcule a área lateral do cone e a área da secção meridiana.
  6. Num cone reto, o diâmetro da base mede 24 cm e o perímetro de sua secção meridiana é 50 cm . Calcule o volume.
  7. Um cone de revolução tem área total igual ao triplo da área da base. Se o perímetro da base é igual a 6 \pi \mathrm{~m}. Calcule o volume do cone.
  8. Num cone reto de altura 8 cm , a área de sua secção meridiana é igual a 48 \mathrm{~cm}^{2}. Calcule a área lateral e a área total.

Passo 1

Vou listar, para cada item, o que o enunciado dá e o que pede, de forma bem clara e direta.
  1. Dado: raio \,r=3 m e altura \,h=4 m. Pede: geratriz, área lateral e área total do cone reto.
  2. Dado: volume do cone equilátero igual a \,9\pi\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^3. Pede: área lateral e área total.
  3. Dado: área da base igual a \,27\pi\,\mathrm{cm}^2; uma geratriz forma \,60^\circ com o eixo. Pede: volume.
  4. Dado: área total do cone equilátero igual a \,50\pi\,\mathrm{cm}^2. Pede: altura.
  5. Dado: base do cone inscrita num quadrado de lado \,6 cm; geratriz =5 cm. Pede: área lateral do cone e área da secção meridiana.
  6. Dado: diâmetro da base =24 cm; perímetro da secção meridiana =50 cm. Pede: volume.
  7. Dado: área total do cone é o triplo da área da base; perímetro da base =6\pi m. Pede: volume.
  8. Dado: altura =8 cm; área da secção meridiana =48\,\mathrm{cm}^2. Pede: área lateral e área total.

Passo 2

Antes de resolver cada item, vamos revisar as fórmulas e conceitos que vamos usar — devagarinho, explicando o que cada símbolo significa e por que a fórmula vale.
  • Definições (variáveis comuns): \,r é o raio da base do cone; \,h é a altura (distância do centro da base ao ápice); \,g é a geratriz (slant height), ou seja, a distância do ápice a um ponto da circunferência da base medida ao longo da superfície lateral; \,\pi é a constante \approx 3,14159.
  • Relação geométrica entre essas medidas (teorema de Pitágoras no triângulo meridiano):
    g=\sqrt{r^{2}+h^{2}}.
    Explicação: a secção meridiana é um triângulo retângulo de catetos r e h e hipotenusa g.
  • Área da base:
    A_{B}=\pi r^{2}.
    (Área de um círculo de raio \,r.)
  • Área lateral (área da superfície lateral, sem a base):
    A_{L}=\pi r g.
    Explicação rápida: a área lateral de um cone é igual à área de um setor circular cujo raio é g e arco tem comprimento 2\pi r; formula-se e simplifica-se para \pi r g.
  • Área total:
    A_{T}=A_{B}+A_{L}=\pi r^{2}+\pi r g.
  • Volume:
    V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.
    Explicação: volume de cone = um terço do volume do cilindro de mesma base e mesma altura.
  • Secção meridiana (a “fatia” triangular que passa pelo eixo): é um triângulo isósceles com base 2r e altura h. A sua área é
    A_{\text{mer}}=\frac{1}{2}\cdot(2r)\cdot h = r h.
    Obs.: às vezes pede-se “área da secção meridiana” e outras vezes a meridiana é tratada como triângulo cuja área é essa.
  • Sobre “cone equilátero”: aqui vamos usar a definição usual em problemas geométricos deste tipo: a secção meridiana é um triângulo equilátero. Isso implica que os três lados desse triângulo são iguais. Como os lados iguais são as duas geratrizes \,g e a base tem comprimento 2r, temos:
    g = 2r.
    Além disso, a altura h do triângulo equilátero de lado g vale \dfrac{\sqrt{3}}{2}g, portanto, substituindo g=2r:
    h = r\sqrt{3}.
    Use isso sempre que o enunciado disser “cone equilátero”.
Agora, com essas fórmulas em mãos, vamos aplicar item por item.

Passo 3

Resolvendo o item 1: raio \,r=3 m e altura \,h=4 m.
  • Calcular a geratriz \,g usando Pitágoras:
    g=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
  • Calcular a área lateral:
    A_{L}=\pi r g=\pi\cdot 3\cdot 5=15\pi.
  • Calcular a área total:
    A_{T}=\pi r^{2}+A_{L}=\pi\cdot 3^{2}+15\pi=9\pi+15\pi=24\pi.

Passo 4

Resolvendo o item 2: volume do cone equilátero é \,9\pi\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^3. Queremos área lateral e área total.
  • Usamos a relação do cone equilátero: g=2r e h=r\sqrt{3}.
  • Escrevemos o volume em função de r:
    V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi r^{2}(r\sqrt{3})=\frac{1}{3}\pi \sqrt{3}\,r^{3}.
  • Igualamos ao valor dado e resolvemos para r:
    \frac{1}{3}\pi \sqrt{3}\,r^{3}=9\pi\sqrt{3}.
    Cancelamos \pi\sqrt{3} dos dois lados:
    \frac{1}{3}r^{3}=9 \quad\Rightarrow\quad r^{3}=27 \quad\Rightarrow\quad r=3\,\mathrm{cm}.
  • Agora g=2r=6 cm e h=r\sqrt{3}=3\sqrt{3} cm.
  • Área lateral:
    A_{L}=\pi r g=\pi\cdot 3\cdot 6=18\pi.
  • Área total:
    A_{T}=\pi r^{2}+A_{L}=\pi\cdot 3^{2}+18\pi=9\pi+18\pi=27\pi.

Passo 5

Resolvendo o item 3: área da base \,=27\pi\,\mathrm{cm}^2, geratriz faz \,60^\circ com o eixo. Pede-se volume.
  • Da área da base \,A_B=\pi r^2=27\pi obtemos:
    r^{2}=27 \quad\Rightarrow\quad r=\sqrt{27}=3\sqrt{3}.
    (Escolhemos r>0.)
  • Relação entre ângulo \theta que a geratriz faz com o eixo e as dimensões: no triângulo retângulo meridiano, o seno e cosseno valem
    \sin\theta=\frac{r}{g},\qquad \cos\theta=\frac{h}{g},\qquad \tan\theta=\frac{r}{h}.
    Para \theta=60^\circ temos \tan 60^\circ=\sqrt{3}. Assim:
    \tan 60^\circ=\frac{r}{h}=\sqrt{3}\quad\Rightarrow\quad h=\frac{r}{\sqrt{3}}.
  • Substituindo r=3\sqrt{3}:
    h=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=3.
  • Volume:
    V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi\cdot 27\cdot 3=\frac{1}{3}\pi\cdot 81=27\pi.

Passo 6

Resolvendo o item 4: área total do cone equilátero \,A_{T}=50\pi\,\mathrm{cm}^2. Pede-se a altura.
  • Para cone equilátero, como visto antes, g=2r. Então
    A_{T}=\pi r^{2}+\pi r g=\pi r^{2}+\pi r(2r)=\pi r^{2}+2\pi r^{2}=3\pi r^{2}.
  • Igualando a 50\pi:
    3\pi r^{2}=50\pi \quad\Rightarrow\quad r^{2}=\frac{50}{3}\quad\Rightarrow\quad r=\sqrt{\frac{50}{3}}.
    Podemos simplificar:
    r=\frac{\sqrt{150}}{3}=\frac{5\sqrt{6}}{3}\,\mathrm{cm}.
  • A altura do cone é h=r\sqrt{3}:
    h=\frac{5\sqrt{6}}{3}\cdot\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{18}}{3}=\frac{5\cdot 3\sqrt{2}}{3}=5\sqrt{2}\,\mathrm{cm}.

Passo 7

Resolvendo o item 5: base inscrita num quadrado de lado \,6 cm e geratriz \,g=5 cm. Pede-se área lateral e área da secção meridiana.
  • Uma circunferência inscrita num quadrado de lado 6 tem diâmetro igual ao lado do quadrado, portanto:
    2r=6\quad\Rightarrow\quad r=3\,\mathrm{cm}.
  • Área lateral:
    A_{L}=\pi r g=\pi\cdot 3\cdot 5=15\pi\,\mathrm{cm}^2.
  • Secção meridiana: é um triângulo com base 2r=6 e altura h dada por
    h=\sqrt{g^{2}-r^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\,\mathrm{cm}.
    Área da secção meridiana (triângulo):
    A_{\text{mer}}=\frac{1}{2}\cdot(2r)\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12\,\mathrm{cm}^2.

Passo 8

Resolvendo o item 6: diâmetro =24 cm e perímetro da secção meridiana =50 cm. Pede-se volume.
  • Do diâmetro 24 obtemos o raio:
    r=12\,\mathrm{cm}.
  • A secção meridiana é um triângulo isósceles com lados g,g,2r. O perímetro P vale:
    P=2g+2r.
    Igualando a 50:
    2g+2r=50 \quad\Rightarrow\quad 2g+24=50 \quad\Rightarrow\quad 2g=26 \quad\Rightarrow\quad g=13\,\mathrm{cm}.
  • Altura h:
    h=\sqrt{g^{2}-r^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5\,\mathrm{cm}.
  • Volume:
    V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi\cdot 12^{2}\cdot 5=\frac{1}{3}\pi\cdot 144\cdot 5=\frac{720}{3}\pi=240\pi\,\mathrm{cm}^3.

Passo 9

Resolvendo o item 7: área total é o triplo da área da base e perímetro da base =6\pi m. Pede-se volume.
  • Se A_{T}=3A_{B}, então
    A_{B}+A_{L}=3A_{B}\quad\Rightarrow\quad A_{L}=2A_{B}.
    Como A_{L}=\pi r g e A_{B}=\pi r^{2}, temos
    \pi r g = 2\pi r^{2}\quad\Rightarrow\quad g=2r.
    (Novamente aparece a condição do “cone equilátero”.)
  • Do perímetro da base (circunferência) 2\pi r=6\pi obtemos:
    r=3\,\mathrm{m}.
  • Então g=2r=6 m e
    h=\sqrt{g^{2}-r^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\,\mathrm{m}.
  • Volume:
    V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi\cdot 3^{2}\cdot 3\sqrt{3}=\frac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 3\sqrt{3}=\frac{1}{3}\pi\cdot 27\sqrt{3}=9\pi\sqrt{3}\,\mathrm{m}^3.

Passo 10

Resolvendo o item 8: altura h=8 cm e área da secção meridiana =48\,\mathrm{cm}^2. Pede-se área lateral e área total.
  • A secção meridiana é um triângulo com base 2r e altura h. Sua área é:
    A_{\text{mer}}=\frac{1}{2}\cdot(2r)\cdot h=r h.
    Igualando a 48:
    r h =48 \quad\Rightarrow\quad r=\frac{48}{h}=\frac{48}{8}=6\,\mathrm{cm}.
  • Geratriz:
    g=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\,\mathrm{cm}.
  • Área lateral:
    A_{L}=\pi r g=\pi\cdot 6\cdot 10=60\pi\,\mathrm{cm}^2.
  • Área total:
    A_{T}=\pi r^{2}+A_{L}=\pi\cdot 6^{2}+60\pi=36\pi+60\pi=96\pi\,\mathrm{cm}^2.

Resposta

  1. \;g=5 m, \;A_{L}=15\pi, \;A_{T}=24\pi.
  2. \;A_{L}=18\pi, \;A_{T}=27\pi.
  3. \;V=27\pi.
  4. \;h=5\sqrt{2} cm.
  5. \;A_{L}=15\pi, \;A_{\text{mer}}=12 cm ^2.
  6. \;V=240\pi cm ^3.
  7. \;V=9\pi\sqrt{3} m ^3.
  8. \;A_{L}=60\pi, \;A_{T}=96\pi.

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