1. Uma esfera de área 2 \pi está inscrita em um cubo. A área total do cubo é
    a) 4
    b) 4 \sqrt{2}
    c) 6 \sqrt{2}
    d) 8

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só. Informações: a esfera tem área 2\pi e ela está inscrita em um cubo (ou seja, a esfera cabe dentro do cubo tocando todas as faces). Pergunta: qual é a área total do cubo (entre as alternativas dadas)?

Passo 2

Primeiro precisamos traduzir “área da esfera” em uma fórmula que conhecemos. A fórmula da área da superfície de uma esfera é
S_{\text{esfera}} = 4\pi r^2,
onde r é o raio da esfera. Aqui cada símbolo significa:
  • S_{\text{esfera}} é a área da superfície da esfera (o que o enunciado deu como 2\pi);
  • \pi é a constante 3{,}1415\ldots;
  • r é o raio da esfera; e
  • o fator 4\pi vem da geometria da esfera (não precisa decorar além de saber a fórmula).
Aplicando a fórmula ao dado do enunciado:
4\pi r^2 = 2\pi.

Passo 3

Agora isolamos r^2. Dividindo ambos os lados por 4\pi obtemos
r^2 = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.
Portanto
r = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Explicação curta: como só apareceu r^2, basta dividir e tirar a raiz quadrada; não precisamos de calculadora porque fica uma expressão exata.

Passo 4

Agora relacionamos o raio da esfera com a aresta do cubo. Uma esfera inscrita em um cubo toca todas as seis faces do cubo, então o diâmetro da esfera 2r é igual à aresta do cubo a. Logo
a = 2r = 2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}.
Simplificando 2/\sqrt{2}: multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2} ou usando a identidade 2/\sqrt{2}=\sqrt{2}, obtemos
a = \sqrt{2}.

Passo 5

A área total (superfície) de um cubo de aresta a é a soma das áreas das seis faces. Cada face tem área a^2, então
A_{\text{cubo}} = 6a^2.
Substituindo a=\sqrt{2},
A_{\text{cubo}} = 6\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2 = 6\cdot 2 = 12.
Portanto a área total do cubo, calculada corretamente, é 12.

Passo 6

Vamos comparar com as alternativas dadas:
a) 4
b) 4\sqrt{2} (aprox. 5{,}657)
c) 6\sqrt{2} (aprox. 8{,}485)
d) 8
Nenhuma dessas alternativas é igual a 12. Conclusão: o valor correto é 12 e nenhuma das alternativas fornecidas corresponde a esse valor (provavelmente há um erro de impressão nas opções).

Resposta

Nenhuma das alternativas: 12

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