(14) Exercícios complementares
- Calcule a geratriz, a área lateral e a área total de um cone reto de raio igual a 3 m e altura igual a 4 m .
- O volume de um cone equilátero é de
. Determine a área lateral e a área total.
- Num cone reto, cuja base tem área igual a
, uma geratriz forma um ângulo de
com eixo. Calcule o volume.
- A área total de um cone equilátero mede
. Calcule a medida de sua altura.
- A base de um cone reto está inscrita num quadrado de 6 cm de lado. Sabendo que a geratriz do cone mede 5 cm . Calcule a área lateral do cone e a área da secção meridiana.
- Num cone reto, o diâmetro da base mede 24 cm e o perímetro de sua secção meridiana é 50 cm . Calcule o volume.
- Um cone de revolução tem área total igual ao triplo da área da base. Se o perímetro da base é igual a
. Calcule o volume do cone.
- Num cone reto de altura 8 cm , a área de sua secção meridiana é igual a
. Calcule a área lateral e a área total.
Passo 1
Vou listar, para cada item, o que o enunciado dá e o que pede, de forma bem clara e direta.
- Dado: raio
m e altura m. Pede: geratriz, área lateral e área total do cone reto. - Dado: volume do cone equilátero igual a
. Pede: área lateral e área total. - Dado: área da base igual a
; uma geratriz forma com o eixo. Pede: volume. - Dado: área total do cone equilátero igual a
. Pede: altura. - Dado: base do cone inscrita num quadrado de lado
cm; geratriz cm. Pede: área lateral do cone e área da secção meridiana. - Dado: diâmetro da base
cm; perímetro da secção meridiana cm. Pede: volume. - Dado: área total do cone é o triplo da área da base; perímetro da base
m. Pede: volume. - Dado: altura
cm; área da secção meridiana . Pede: área lateral e área total.
Passo 2
Antes de resolver cada item, vamos revisar as fórmulas e conceitos que vamos usar — devagarinho, explicando o que cada símbolo significa e por que a fórmula vale.
-
Definições (variáveis comuns):
é o raio da base do cone; é a altura (distância do centro da base ao ápice); é a geratriz (slant height), ou seja, a distância do ápice a um ponto da circunferência da base medida ao longo da superfície lateral; é a constante . -
Relação geométrica entre essas medidas (teorema de Pitágoras no triângulo meridiano):Explicação: a secção meridiana é um triângulo retângulo de catetos
e e hipotenusa . -
Área da base:(Área de um círculo de raio
.) -
Área lateral (área da superfície lateral, sem a base):Explicação rápida: a área lateral de um cone é igual à área de um setor circular cujo raio é
e arco tem comprimento ; formula-se e simplifica-se para . -
Área total:
-
Volume:Explicação: volume de cone = um terço do volume do cilindro de mesma base e mesma altura.
-
Secção meridiana (a “fatia” triangular que passa pelo eixo): é um triângulo isósceles com base
e altura . A sua área é Obs.: às vezes pede-se “área da secção meridiana” e outras vezes a meridiana é tratada como triângulo cuja área é essa. -
Sobre “cone equilátero”: aqui vamos usar a definição usual em problemas geométricos deste tipo: a secção meridiana é um triângulo equilátero. Isso implica que os três lados desse triângulo são iguais. Como os lados iguais são as duas geratrizes
e a base tem comprimento , temos: Além disso, a alturado triângulo equilátero de lado vale , portanto, substituindo : Use isso sempre que o enunciado disser “cone equilátero”.
Agora, com essas fórmulas em mãos, vamos aplicar item por item.
Passo 3
Resolvendo o item 1: raio
m e altura
m.
-
Calcular a geratriz
usando Pitágoras: -
Calcular a área lateral:
-
Calcular a área total:
Passo 4
Resolvendo o item 2: volume do cone equilátero é
. Queremos área lateral e área total.
-
Usamos a relação do cone equilátero:
e . -
Escrevemos o volume em função de
: -
Igualamos ao valor dado e resolvemos para
: Cancelamosdos dois lados: -
Agora
cm e cm. -
Área lateral:
-
Área total:
Passo 5
Resolvendo o item 3: área da base
, geratriz faz
com o eixo. Pede-se volume.
-
Da área da base
obtemos: (Escolhemos.) -
Relação entre ângulo
que a geratriz faz com o eixo e as dimensões: no triângulo retângulo meridiano, o seno e cosseno valem Paratemos . Assim: -
Substituindo
: -
Volume:
Passo 6
Resolvendo o item 4: área total do cone equilátero
. Pede-se a altura.
-
Para cone equilátero, como visto antes,
. Então -
Igualando a
: Podemos simplificar: -
A altura do cone é
:
Passo 7
Resolvendo o item 5: base inscrita num quadrado de lado
cm e geratriz
cm. Pede-se área lateral e área da secção meridiana.
-
Uma circunferência inscrita num quadrado de lado
tem diâmetro igual ao lado do quadrado, portanto: -
Área lateral:
-
Secção meridiana: é um triângulo com base
e altura dada por Área da secção meridiana (triângulo):
Passo 8
Resolvendo o item 6: diâmetro
cm e perímetro da secção meridiana
cm. Pede-se volume.
-
Do diâmetro
obtemos o raio: -
A secção meridiana é um triângulo isósceles com lados
. O perímetro vale: Igualando a: -
Altura
: -
Volume:
Passo 9
Resolvendo o item 7: área total é o triplo da área da base e perímetro da base
m. Pede-se volume.
-
Se
, então Comoe , temos (Novamente aparece a condição do “cone equilátero”.) -
Do perímetro da base (circunferência)
obtemos: -
Então
m e -
Volume:
Passo 10
Resolvendo o item 8: altura
cm e área da secção meridiana
. Pede-se área lateral e área total.
-
A secção meridiana é um triângulo com base
e altura . Sua área é: Igualando a: -
Geratriz:
-
Área lateral:
-
Área total:
Resposta
-
m, , -
, -
-
cm. -
, cm . -
cm . -
m . -
, .