1. Calcule o volume de um cone cuja base está inscrita num quadrado de 64 \mathrm{~m}^{2} de área e cuja geratriz mede 5 m .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume de um cone. As informações relevantes são:
  • A base do cone é uma circunferência inscrita num quadrado cuja área é \,64\\ \mathrm{m}^2.
  • A geratriz (ou aresta lateral) do cone mede \,5\\ \mathrm{m}.
    Portanto a pergunta é: qual é o volume do cone (em \mathrm{m}^3) dado esses dados?

Passo 2

Encontrar o lado do quadrado a partir da sua área. A área A de um quadrado de lado s é dada por
A = s^2.
Aqui A=64, logo
s^2 = 64 \quad\Rightarrow\quad s = \sqrt{64} = 8\\ \mathrm{m}.
Explicação didática: a área do quadrado é o quadrado do comprimento do lado; para recuperar o lado tiramos a raiz quadrada.

Passo 3

Determinar o raio da base do cone sabendo que a circunferência está inscrita no quadrado. Uma circunferência inscrita num quadrado tem o diâmetro igual ao lado do quadrado, pois toca os quatro lados. Assim,
\text{diâmetro} = s = 8\\ \mathrm{m},â
logo o raio r é
r = \frac{s}{2} = \frac{8}{2} = 4\\ \mathrm{m}.
Explicação didática: “inscrita” significa que a circunferência fica justa dentro do quadrado, tocando cada lado; por isso o diâmetro coincide com o lado do quadrado.

Passo 4

Relacionar a geratriz l, o raio r e a altura h do cone. Num cone circular reto, o triângulo formado pela altura h, pelo raio r e pela geratriz l é um triângulo retângulo (a geratriz é a hipotenusa). Assim vale o Teorema de Pitágoras:
l^2 = r^2 + h^2.
Aqui l é a geratriz (dada), r é o raio (já encontrado) e h é a altura que queremos achar para usar na fórmula do volume.

Passo 5

Calcular a altura h usando l=5\\ \mathrm{m} e r=4\\ \mathrm{m}. Substituindo na equação do passo anterior:
5^2 = 4^2 + h^2.
Desenvolvendo:
25 = 16 + h^2 \quad\Rightarrow\quad h^2 = 25 - 16 = 9.
Portanto
h = \sqrt{9} = 3\\ \mathrm{m}.
Explicação didática: isolamos h^2 e extraímos a raiz quadrada; como h é comprimento, escolhemos a raiz positiva.

Passo 6

Lembrar a fórmula do volume V de um cone circular reto: é um terço da área da base multiplicada pela altura. Em símbolos:
V = \frac{1}{3}\pi r^2 h.
Aqui r é o raio da base (em metros), h é a altura (em metros) e \pi é a constante clássica. Explicação didática: essa fórmula é análoga à do volume de uma pirâmide; o cone é o caso com base circular.

Passo 7

Substituir os valores r=4\\ \mathrm{m} e h=3\\ \mathrm{m} na fórmula:
V = \frac{1}{3}\pi (4)^2 (3).
Calcular passo a passo:
(4)^2 = 16,
16\cdot 3 = 48,
V = \frac{1}{3}\pi \cdot 48 = 16\pi.
Unidade: o volume fica em \mathrm{m}^3, então V = 16\pi\\ \mathrm{m}^3.

Resposta

\;16\pi\\ \mathrm{m}^3

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