- Calcule o volume de um cone cuja base está inscrita num quadrado de
de área e cuja geratriz mede 5 m .
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume de um cone. As informações relevantes são:
- A base do cone é uma circunferência inscrita num quadrado cuja área é
. - A geratriz (ou aresta lateral) do cone mede
.
Portanto a pergunta é: qual é o volume do cone (em) dado esses dados?
Passo 2
Encontrar o lado do quadrado a partir da sua área. A área
de um quadrado de lado
é dada por
Aqui
, logo
Explicação didática: a área do quadrado é o quadrado do comprimento do lado; para recuperar o lado tiramos a raiz quadrada.
Passo 3
Determinar o raio da base do cone sabendo que a circunferência está inscrita no quadrado. Uma circunferência inscrita num quadrado tem o diâmetro igual ao lado do quadrado, pois toca os quatro lados. Assim,
logo o raio
é
Explicação didática: “inscrita” significa que a circunferência fica justa dentro do quadrado, tocando cada lado; por isso o diâmetro coincide com o lado do quadrado.
Passo 4
Relacionar a geratriz
, o raio
e a altura
do cone. Num cone circular reto, o triângulo formado pela altura
, pelo raio
e pela geratriz
é um triângulo retângulo (a geratriz é a hipotenusa). Assim vale o Teorema de Pitágoras:
Aqui
é a geratriz (dada),
é o raio (já encontrado) e
é a altura que queremos achar para usar na fórmula do volume.
Passo 5
Calcular a altura
usando
e
. Substituindo na equação do passo anterior:
Desenvolvendo:
Portanto
Explicação didática: isolamos
e extraímos a raiz quadrada; como
é comprimento, escolhemos a raiz positiva.
Passo 6
Lembrar a fórmula do volume
de um cone circular reto: é um terço da área da base multiplicada pela altura. Em símbolos:
Aqui
é o raio da base (em metros),
é a altura (em metros) e
é a constante clássica. Explicação didática: essa fórmula é análoga à do volume de uma pirâmide; o cone é o caso com base circular.
Passo 7
Substituir os valores
e
na fórmula:
Calcular passo a passo:
Unidade: o volume fica em
, então
.