Mostre que sua série integrada está de acordo com o Exercício 14.3.14.
Passo 1
O enunciado pede que se integre a expansão de Fourier da função degrau unitária periódica definida em (- \pi,\pi)\) por
\[f(x)= \begin{cases}0, & -\pi<x<0,\\[4pt] x, & 0<x<\pi.\end{cases}
Ou seja:
Calcular a série de Fourier de f(x)\] (coeficientes \(a_0,a_n,b_n) — pegando a função tal como dada no enunciado.
Integrar termo a termo essa série (por exemplo, integral definida de 0 até x ou integral indefinida com constante escolhida convenientemente) para obter a série integrada.
Mostrar que a série obtida coincide com o resultado do Exercício 14.3.14 (isto é, que a série integrada representa a função cujo valor é 0 em -\pi<x<0 e x^2/2 em 0<x<\pi; o enunciado do exer. 14.3.14 corresponde a essa função integrada).
Informações dadas pelo enunciado que usarei:
Domínio básico: -\pi<x<\pi com extensão periódica de período 2\pi.
Função é definida por blocos: f(x)=0 em (- \pi,0) e f(x)=x em (0,\pi).
Objetivo: integrar a série de Fourier de f e comparar com o resultado esperado (a integral de f que vale 0 em (- \pi,0) e x^2/2 em (0,\pi)).]
Passo 2
Vou calcular os coeficientes da série de Fourier de f. Primeiro lembro as fórmulas (essas fórmulas são padrão para funções de período 2\pi):
onde os coeficientes são obtidos projetando a função sobre as funções ortogonais \cos(nx) e \sin(nx) no intervalo [-\pi,\pi] — é a forma padrão de decompor uma função em “harmônicos”.
Agora aplico as integrais usando que f(x)=0 para x\in(-\pi,0) e f(x)=x para x\in(0,\pi). Assim todas as integrais sobre [-\pi,\pi] reduzem a integrais sobre [0,\pi].
Interpretação rápida: essa série converge para f(x) em todos os pontos onde f é contínua e converge para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (teorema de Dirichlet). No nosso caso f é contínua em todo ponto interior de cada intervalo (- \pi,0) e (0,\pi), com salto em x=0 e também nas fronteiras periódicas x=\pm\pi.
Passo 4
Agora integro a série termo a termo. Vou definir a função integrada natural como integral definida de 0 até x:
F(x):=\int_{0}^{x} f(t)\,dt.
Explicação didática: integrar a série termo a termo é permitido porque a série de Fourier de f (sendo série de funções trigonométricas com coeficientes decrescentes suficientemente rápido) pode ser integrada termo a termo e a série resultante converge uniformemente em qualquer intervalo contido em (- \pi,\pi). Na prática, integrar termo a termo produz uma série cuja derivada (termo a termo) retorna a série original de f, então a função integrada coincide com a integral real de f até uma constante; escolhendo o limite inferior 0 fixamos essa constante (pois F(0)=0).
Integro cada tipo de termo entre 0 e x:
Integral da constante \dfrac{\pi}{4}: \displaystyle \int_0^x \frac{\pi}{4}\,dt=\frac{\pi}{4}x.
Integral de a_n\cos(nt): \displaystyle \int_0^x a_n\cos(nt)\,dt=a_n\frac{\sin(nx)}{n}.
Integral de b_n\sin(nt): \displaystyle \int_0^x b_n\sin(nt)\,dt=b_n\frac{1-\cos(nx)}{n}.
Podemos simplificar observando que 1-(-1)^n é zero para n par e 2 para n ímpar; assim a soma com \sin(nx) reduz a soma sobre índices ímpares. Escrevendo com n=2m+1 (m=0,1,2,\dots) obtemos uma forma mais compacta:
Essa é a série obtida integrando termo a termo a expansão de Fourier de f.
Passo 5
Agora mostro que essa série integrada representa a integral real [\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t),dt), ou seja, que a série vale 0 para -\pi<x<0 e vale \dfrac{x^2}{2} para 0<x<\pi — isto é o que o Exercício 14.3.14 exige que verifiquemos.
Raciocínio (passo a passo, simples e robusto):
A série que obtivemos para F(x) é diferenciável termo a termo (cada termo é função trigonométrica suave), e a derivada termo a termo é exatamente a série de Fourier que encontramos para f(x). Ou seja, para todo x\in(-\pi,\pi) onde a série de Fourier de f converge para f(x), vale
F'(x)=f(x).
A relação F'(x)=f(x) diz que a função representada pela série integrada é uma primitiva de f no intervalo (- \pi,\pi), exceto possivelmente nos pontos de descontinuidade (mas as primitividades coincidem a quase todo ponto e, pelo teorema fundamental do cálculo, isso determina F até uma constante por cada intervalo de continuidade).
Pelo modo como definimos F(x)=\int_0^x f(t)\,dt temos a condição inicial F(0)=0. Se tomarmos a primitiva dada pela série integrada e avaliarmos em x=0, vemos que todas as parcelas se anulam em x=0 (porque \sin(0)=0 e 1-\cos(0)=0), e a constante \frac{\pi}{4}x também é zero em x=0. Assim a constante da primitiva coincide com 0. Logo a série integrada representa exatamente a primitiva F(x)=\int_0^x f(t)\,dt (não há diferença de constantes).
Finalmente, calculo explicitamente F(x) a partir da definição direta da integral de f:
Como a série integrada é a primitiva de f\] com a mesma condição inicial \(F(0)=0, a série coincide com a função peça-a-peça acima: vale 0 em (- \pi,0) e \dfrac{x^2}{2} em (0,\pi).
Portanto a série integrada que encontramos está de acordo com o Exercício 14.3.14 (que fornece exatamente essa primitiva).]