14.4.4 Integre a expansão de Fourier da função degrau unitária
f(x)= \begin{cases}0, & -\pi<x<0 \\\ x, & 0<x<\pi\end{cases}
Mostre que sua série integrada está de acordo com o Exercício 14.3.14.

Passo 1

O enunciado pede que se integre a expansão de Fourier da função degrau unitária periódica definida em (- \pi,\pi)\) por \[f(x)= \begin{cases}0, & -\pi<x<0,\\[4pt] x, & 0<x<\pi.\end{cases}
Ou seja:
  • Calcular a série de Fourier de f(x)\] (coeficientes \(a_0,a_n,b_n) — pegando a função tal como dada no enunciado.
  • Integrar termo a termo essa série (por exemplo, integral definida de 0 até x ou integral indefinida com constante escolhida convenientemente) para obter a série integrada.
  • Mostrar que a série obtida coincide com o resultado do Exercício 14.3.14 (isto é, que a série integrada representa a função cujo valor é 0 em -\pi<x<0 e x^2/2 em 0<x<\pi; o enunciado do exer. 14.3.14 corresponde a essa função integrada).
Informações dadas pelo enunciado que usarei:
  • Domínio básico: -\pi<x<\pi com extensão periódica de período 2\pi.
  • Função é definida por blocos: f(x)=0 em (- \pi,0) e f(x)=x em (0,\pi).
  • Objetivo: integrar a série de Fourier de f e comparar com o resultado esperado (a integral de f que vale 0 em (- \pi,0) e x^2/2 em (0,\pi)).]

Passo 2

Vou calcular os coeficientes da série de Fourier de f. Primeiro lembro as fórmulas (essas fórmulas são padrão para funções de período 2\pi):
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad n\ge1,
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,\qquad n\ge1.
Explicação rápida do que essas fórmulas significam: a série de Fourier de uma função periódica de período 2\pi se escreve
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde os coeficientes são obtidos projetando a função sobre as funções ortogonais \cos(nx) e \sin(nx) no intervalo [-\pi,\pi] — é a forma padrão de decompor uma função em “harmônicos”.
Agora aplico as integrais usando que f(x)=0 para x\in(-\pi,0) e f(x)=x para x\in(0,\pi). Assim todas as integrais sobre [-\pi,\pi] reduzem a integrais sobre [0,\pi].
Calculo de a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\,dx=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{2}=\frac{\pi}{2}.
Calculo de a_n para n\ge1:
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx.
Faço integração por partes na integral \int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx. Tomo u=x e dv=\cos(nx)\,dx. Então du=dx e v=\dfrac{\sin(nx)}{n}. Assim
\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx=\left. x\frac{\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(nx)}{n}\,dx.
O termo de fronteira é \pi\frac{\sin(n\pi)}{n}=0 porque \sin(n\pi)=0. A outra integral é
\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx=\left.-\frac{\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}=\frac{1-(-1)^n}{n}.
Portanto
\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx=-\frac{1-(-1)^n}{n^2}.
Dividindo por \pi vem
a_n=-\frac{1-(-1)^n}{\pi n^2}.
Observação útil: se n é par então (-1)^n=1 e a_n=0; se n é ímpar então (-1)^n=-1 e a_n=-\dfrac{2}{\pi n^2}.
Calculo de b_n para n\ge1:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Faço integração por partes com u=x, dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx, v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Assim
\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx=\left.-x\frac{\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}+\int_{0}^{\pi}\frac{\cos(nx)}{n}\,dx.
O primeiro termo dá -\pi\frac{\cos(n\pi)}{n}=-\pi\frac{(-1)^n}{n}. A segunda integral é
\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx=\left.\frac{\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}=0.
Logo
\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx=-\pi\frac{(-1)^n}{n},
e dividindo por \pi resulta
b_n=-\frac{(-1)^n}{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{n}.
Resumo dos coeficientes obtidos:
a_0=\frac{\pi}{2},\qquad a_n=-\frac{1-(-1)^n}{\pi n^2}\quad(n\ge1),\qquad b_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n}\quad(n\ge1).

Passo 3

Escrevo a série de Fourier de f(x). Lembrando que a série é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
substituindo os coeficientes:
f(x)\sim \frac{\pi}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1-(-1)^n}{\pi n^2}\cos(nx)+\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\right).
Posso destacar que os termos em a_n existem apenas para n ímpar; escrevendo apenas n=2m+1 (índices ímpares) obtemos a forma alternativa:
f(x)\sim \frac{\pi}{4}-\frac{2}{\pi}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\cos((2m+1)x)}{(2m+1)^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx).
Interpretação rápida: essa série converge para f(x) em todos os pontos onde f é contínua e converge para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (teorema de Dirichlet). No nosso caso f é contínua em todo ponto interior de cada intervalo (- \pi,0) e (0,\pi), com salto em x=0 e também nas fronteiras periódicas x=\pm\pi.

Passo 4

Agora integro a série termo a termo. Vou definir a função integrada natural como integral definida de 0 até x:
F(x):=\int_{0}^{x} f(t)\,dt.
Explicação didática: integrar a série termo a termo é permitido porque a série de Fourier de f (sendo série de funções trigonométricas com coeficientes decrescentes suficientemente rápido) pode ser integrada termo a termo e a série resultante converge uniformemente em qualquer intervalo contido em (- \pi,\pi). Na prática, integrar termo a termo produz uma série cuja derivada (termo a termo) retorna a série original de f, então a função integrada coincide com a integral real de f até uma constante; escolhendo o limite inferior 0 fixamos essa constante (pois F(0)=0).
Integro cada tipo de termo entre 0 e x:
  • Integral da constante \dfrac{\pi}{4}: \displaystyle \int_0^x \frac{\pi}{4}\,dt=\frac{\pi}{4}x.
  • Integral de a_n\cos(nt): \displaystyle \int_0^x a_n\cos(nt)\,dt=a_n\frac{\sin(nx)}{n}.
  • Integral de b_n\sin(nt): \displaystyle \int_0^x b_n\sin(nt)\,dt=b_n\frac{1-\cos(nx)}{n}.
Somando em série obtemos
F(x)=\frac{\pi}{4}x+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\frac{\sin(nx)}{n}+b_n\frac{1-\cos(nx)}{n}\right).
Agora substituo a_n e b_n:
F(x)=\frac{\pi}{4}x-\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^3}\sin(nx)+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1-\cos(nx)}{n^2}.
Podemos simplificar observando que 1-(-1)^n é zero para n par e 2 para n ímpar; assim a soma com \sin(nx) reduz a soma sobre índices ímpares. Escrevendo com n=2m+1 (m=0,1,2,\dots) obtemos uma forma mais compacta:
F(x)=\frac{\pi}{4}x-\frac{2}{\pi}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\sin((2m+1)x)}{(2m+1)^3}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1-\cos(nx)}{n^2}.
Essa é a série obtida integrando termo a termo a expansão de Fourier de f.

Passo 5

Agora mostro que essa série integrada representa a integral real [\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t),dt), ou seja, que a série vale 0 para -\pi<x<0 e vale \dfrac{x^2}{2} para 0<x<\pi — isto é o que o Exercício 14.3.14 exige que verifiquemos.
Raciocínio (passo a passo, simples e robusto):
  1. A série que obtivemos para F(x) é diferenciável termo a termo (cada termo é função trigonométrica suave), e a derivada termo a termo é exatamente a série de Fourier que encontramos para f(x). Ou seja, para todo x\in(-\pi,\pi) onde a série de Fourier de f converge para f(x), vale
F'(x)=f(x).
  1. A relação F'(x)=f(x) diz que a função representada pela série integrada é uma primitiva de f no intervalo (- \pi,\pi), exceto possivelmente nos pontos de descontinuidade (mas as primitividades coincidem a quase todo ponto e, pelo teorema fundamental do cálculo, isso determina F até uma constante por cada intervalo de continuidade).
  2. Pelo modo como definimos F(x)=\int_0^x f(t)\,dt temos a condição inicial F(0)=0. Se tomarmos a primitiva dada pela série integrada e avaliarmos em x=0, vemos que todas as parcelas se anulam em x=0 (porque \sin(0)=0 e 1-\cos(0)=0), e a constante \frac{\pi}{4}x também é zero em x=0. Assim a constante da primitiva coincide com 0. Logo a série integrada representa exatamente a primitiva F(x)=\int_0^x f(t)\,dt (não há diferença de constantes).
  3. Finalmente, calculo explicitamente F(x) a partir da definição direta da integral de f:
F(x)=\int_0^x f(t)\,dt= \begin{cases} 0, & -\pi<x<0,\\[4pt] \displaystyle\int_0^x t\,dt=\frac{x^2}{2}, & 0<x<\pi. \end{cases}
Como a série integrada é a primitiva de f\] com a mesma condição inicial \(F(0)=0, a série coincide com a função peça-a-peça acima: vale 0 em (- \pi,0) e \dfrac{x^2}{2} em (0,\pi).
Portanto a série integrada que encontramos está de acordo com o Exercício 14.3.14 (que fornece exatamente essa primitiva).]

Resposta

\int_{0}^{x} f(t)\,dt=\frac{\pi}{4}x-\frac{2}{\pi}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\sin((2m+1)x)}{(2m+1)^3}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1-\cos(nx)}{n^2},
que representa a função
\int_{0}^{x} f(t)\,dt= \begin{cases} 0, & -\pi<x<0,\\[6pt] \displaystyle \frac{x^2}{2}, & 0<x<\pi, \end{cases}
logo a série integrada está de acordo com o Exercício 14.3.14.]

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