14 A luz do Sol leva aproximadamente
para atingir a Terra. Durante esse tempo, a Terra continuou a se deslocar em sua órbita ao redor do Sol. A que distância está a verdadeira localização do Sol em relação à sua imagem no céu?
Passo 1
O enunciado dá que a luz do Sol demora
minutos para chegar à Terra e pede a que distância está a verdadeira posição do Sol em relação à sua imagem no céu. Vou listar os dados que vamos usar (todos extraídos do enunciado ou valores padrão conhecidos):
- Tempo de trânsito da luz:
. - Distância média Terra–Sol:
. - Período orbital da Terra:
.
O que precisamos encontrar é a separação entre a posição aparente do Sol (onde o vemos) e a posição real (onde ele está naquele instante): essa separação é causada pelo deslocamento da Terra na sua órbita durante. Vamos calcular esse deslocamento linear e também a separação angular correspondente no céu.
Passo 2
Explicação física e fórmula: enquanto a luz viaja do Sol até nós, a Terra continua se movendo na sua órbita com velocidade orbital
. A posição aparente do Sol corresponde ao lugar onde ele estava quando a luz saiu; a posição real corresponde ao lugar onde ele está quando a luz chega aqui. A diferença na posição aparente vista do solo é aproximadamente igual ao deslocamento da Terra no plano ortogonal à direção Terra–Sol durante o tempo
. Para obter
usamos a fórmula do módulo da velocidade orbital média:
onde
é o raio da órbita (1 UA) e
é o período orbital.
Passo 3
Calcular
. Substituindo
e
em unidades compatíveis:
Agora a conta (mostrando a ideia, não é preciso fazer longas multiplicações na prova se lembrar do valor padrão):
Comentário didático rápido: esse é o valor conhecido da velocidade orbital média da Terra; na prova pode usar
sem grande erro.
Passo 4
Calcular o deslocamento linear
que a Terra percorre em
:
Substituindo
e
:
Explicação prática: enquanto a luz leva
para chegar, a Terra anda cerca de quinze mil quilômetros — por isso a posição verdadeira do Sol está deslocada dessa ordem em relação à imagem que vemos.
Passo 5
Converter esse deslocamento linear em separação angular no céu (valor que aparece em catálogos de astronomia). Para ângulos pequenos usamos a aproximação de arco pequeno:
com
em radianos. Substituindo os valores:
Para converter para segundos de arco usamos
:
Comentário didático: esse valor de aproximadamente
é o mesmo que aparece na discussão da aberração anual da luz (efeito devido à velocidade orbital e à velocidade finita da luz).
Passo 6
Resumo interpretativo e dica para a prova: é suficiente calcular a velocidade orbital média da Terra e multiplicar pelo tempo de trânsito da luz para obter o deslocamento linear; dividindo esse deslocamento por
obtém-se o ângulo em radianos, que pode ser convertido em segundos de arco. Se estiver sem calculadora na prova, usar
,
e
já dá uma estimativa
e
.