14 A luz do Sol leva aproximadamente 8 \frac{1}{3} \mathrm{~min} para atingir a Terra. Durante esse tempo, a Terra continuou a se deslocar em sua órbita ao redor do Sol. A que distância está a verdadeira localização do Sol em relação à sua imagem no céu?

Passo 1

O enunciado dá que a luz do Sol demora 8\frac{1}{3} minutos para chegar à Terra e pede a que distância está a verdadeira posição do Sol em relação à sua imagem no céu. Vou listar os dados que vamos usar (todos extraídos do enunciado ou valores padrão conhecidos):
  • Tempo de trânsito da luz: t=8\frac{1}{3}\\ \text{min}=500\\ \text{s}.
  • Distância média Terra–Sol: R=1\\ \text{UA}=1{,}496\times10^{8}\\ \mathrm{km}.
  • Período orbital da Terra: T=1\\ \text{ano}=365{,}25\\ \text{dias}=3{,}15576\times10^{7}\\ \text{s}.
    O que precisamos encontrar é a separação entre a posição aparente do Sol (onde o vemos) e a posição real (onde ele está naquele instante): essa separação é causada pelo deslocamento da Terra na sua órbita durante t. Vamos calcular esse deslocamento linear e também a separação angular correspondente no céu.

Passo 2

Explicação física e fórmula: enquanto a luz viaja do Sol até nós, a Terra continua se movendo na sua órbita com velocidade orbital v. A posição aparente do Sol corresponde ao lugar onde ele estava quando a luz saiu; a posição real corresponde ao lugar onde ele está quando a luz chega aqui. A diferença na posição aparente vista do solo é aproximadamente igual ao deslocamento da Terra no plano ortogonal à direção Terra–Sol durante o tempo t. Para obter v usamos a fórmula do módulo da velocidade orbital média:
v=\frac{2\pi R}{T},
onde R é o raio da órbita (1 UA) e T é o período orbital.

Passo 3

Calcular v. Substituindo R e T em unidades compatíveis:
v=\frac{2\pi\cdot(1{,}496\times10^{8}\\ \mathrm{km})}{3{,}15576\times10^{7}\\ \mathrm{s}}.
Agora a conta (mostrando a ideia, não é preciso fazer longas multiplicações na prova se lembrar do valor padrão):
v\approx 29{,}78\\ \mathrm{km/s}.
Comentário didático rápido: esse é o valor conhecido da velocidade orbital média da Terra; na prova pode usar v\approx30\\ \mathrm{km/s} sem grande erro.

Passo 4

Calcular o deslocamento linear s que a Terra percorre em t:
s=v\cdot t.
Substituindo v e t:
s\approx 29{,}78\\ \mathrm{km/s}\times 500\\ \mathrm{s}=14\,890\\ \mathrm{km}\approx 1{,}49\times10^{4}\\ \mathrm{km}.
Explicação prática: enquanto a luz leva 500\\ \mathrm{s} para chegar, a Terra anda cerca de quinze mil quilômetros — por isso a posição verdadeira do Sol está deslocada dessa ordem em relação à imagem que vemos.

Passo 5

Converter esse deslocamento linear em separação angular no céu (valor que aparece em catálogos de astronomia). Para ângulos pequenos usamos a aproximação de arco pequeno:
\theta\approx\frac{s}{R},
com \theta em radianos. Substituindo os valores:
\theta\approx\frac{1{,}4890\times10^{4}\\ \mathrm{km}}{1{,}496\times10^{8}\\ \mathrm{km}}\approx 9{,}96\times10^{-5}\\ \text{rad}.
Para converter para segundos de arco usamos 1\\ \text{rad}=206\,265'':
\theta\approx 9{,}96\times10^{-5}\times206\,265\\ ''\approx 20{,}6\\ ''.
Comentário didático: esse valor de aproximadamente 20{,}6'' é o mesmo que aparece na discussão da aberração anual da luz (efeito devido à velocidade orbital e à velocidade finita da luz).

Passo 6

Resumo interpretativo e dica para a prova: é suficiente calcular a velocidade orbital média da Terra e multiplicar pelo tempo de trânsito da luz para obter o deslocamento linear; dividindo esse deslocamento por 1\\ \text{UA} obtém-se o ângulo em radianos, que pode ser convertido em segundos de arco. Se estiver sem calculadora na prova, usar v\approx30\\ \mathrm{km/s}, t=500\\ \mathrm{s} e R\approx1{,}5\times10^{8}\\ \mathrm{km} já dá uma estimativa s\approx1{,}5\times10^{4}\\ \mathrm{km} e \theta\approx2\times10^{-4}\\ \text{rad}\approx20''.

Resposta

\approx 1{,}49\times10^{4}\\ \mathrm{km}
\approx 20{,}6''

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