14 Uma pedra é largada de uma altura H e gasta um 1s para percorrer, ao final da queda,
da altura inicial H. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá que uma pedra é largada do repouso de uma altura
e, no intervalo de tempo correspondente ao último
s antes de atingir o solo, ela percorre
da altura inicial
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
Informações importantes extraídas do enunciado:
O que o enunciado pede: mostrar que
Passo 2
Apresento a fórmula básica de movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) usada aqui e explico por que ela vale. A posição (distância percorrida desde o início) de um corpo com velocidade inicial
e aceleração constante
após tempo
é dada por
Explicando as variáveis:
é a distância percorrida em metros,
é a velocidade inicial em
,
é a aceleração em
e
é o tempo em segundos. Essa fórmula vem de integrar a aceleração para obter a velocidade
e depois integrar a velocidade para obter a posição.
No nosso caso a pedra é largada do repouso, então , e a aceleração é a gravidade
(tomando
como módulo). Assim a altura total
(distância percorrida até o impacto) é
No nosso caso a pedra é largada do repouso, então
onde
é o tempo total de queda.
Passo 3
Agora escrevo a distância percorrida durante o último
s da queda. A distância percorrida até o instante
é
e até o instante
é
. Portanto a distância percorrida no último segundo é
Faço a álgebra dentro do parênteses para simplificar:
Logo
Passo 4
Uso a condição do enunciado: a distância percorrida no último
s é
de
. Escrevo isso matematicamente e substituo
:
Como
, posso cancelar esse fator em ambos os lados, obtendo
Rearranjando para formar uma equação quadrática:
Para evitar decimais multiplico por
:
Divido por
para simplificar:
Passo 5
Resolvo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara. Primeiro o discriminante:
Raiz do discriminante:
As raízes são
Isso dá duas soluções:
Como a queda tem um “último
s”, o tempo total
deve ser maior que
s. Portanto rejeitamos
e ficamos com
Passo 6
Com
s calculo
pela fórmula
:
Observação rápida de checagem: com
temos
e
e
, conferindo a condição do enunciado.