14 Uma pedra é largada de uma altura H e gasta um 1s para percorrer, ao final da queda, 36 \% da altura inicial H. Mostre que H=\frac{25}{2} g.

Passo 1

O enunciado dá que uma pedra é largada do repouso de uma altura H e, no intervalo de tempo correspondente ao último 1 s antes de atingir o solo, ela percorre 36\% da altura inicial H.
Informações importantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Altura total: } H\\ (\text{desconhecida});\\\ &\text{Aceleração da gravidade: } g\\ (\text{constante conhecida});\\\ &\text{Tempo total de queda: } T\\ (\text{desconhecido});\\\ &\text{Distância percorrida no último }1\text{ s: }0{,}36\,H;\\\ &\text{Condição inicial: pedra largada do repouso (velocidade inicial }0\text{).} \end{aligned}çãâúçã
O que o enunciado pede: mostrar que
H=\frac{25}{2}\,g.

Passo 2

Apresento a fórmula básica de movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) usada aqui e explico por que ela vale. A posição (distância percorrida desde o início) de um corpo com velocidade inicial v_0 e aceleração constante a após tempo t é dada por
s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2.
Explicando as variáveis: s é a distância percorrida em metros, v_0 é a velocidade inicial em \mathrm{m/s}, a é a aceleração em \mathrm{m/s^2} e t é o tempo em segundos. Essa fórmula vem de integrar a aceleração para obter a velocidade v(t)=v_0+at e depois integrar a velocidade para obter a posição.
No nosso caso a pedra é largada do repouso, então v_0=0, e a aceleração é a gravidade a=g (tomando g>0 como módulo). Assim a altura total H (distância percorrida até o impacto) é
H=\tfrac{1}{2}gT^2,
onde T é o tempo total de queda.

Passo 3

Agora escrevo a distância percorrida durante o último 1 s da queda. A distância percorrida até o instante T é \tfrac{1}{2}gT^2 e até o instante T-1 é \tfrac{1}{2}g(T-1)^2. Portanto a distância percorrida no último segundo é
s_{\text{último}}=\tfrac{1}{2}gT^2-\tfrac{1}{2}g(T-1)^2.ú
Faço a álgebra dentro do parênteses para simplificar:
T^2-(T-1)^2 = T^2 - \big(T^2-2T+1\big) = 2T-1.
Logo
s_{\text{último}}=\tfrac{1}{2}g(2T-1).ú

Passo 4

Uso a condição do enunciado: a distância percorrida no último 1 s é 36\% de H. Escrevo isso matematicamente e substituo H=\tfrac{1}{2}gT^2:
\tfrac{1}{2}g(2T-1) = 0{,}36\;H = 0{,}36\;\tfrac{1}{2}gT^2.
Como \tfrac{1}{2}g\neq 0, posso cancelar esse fator em ambos os lados, obtendo
2T-1 = 0{,}36\,T^2.
Rearranjando para formar uma equação quadrática:
0{,}36\,T^2 - 2T + 1 = 0.
Para evitar decimais multiplico por 100:
36T^2 - 200T + 100 = 0.
Divido por 4 para simplificar:
9T^2 - 50T + 25 = 0.

Passo 5

Resolvo a equação quadrática 9T^2 - 50T + 25 = 0 usando a fórmula de Bhaskara. Primeiro o discriminante:
\Delta = (-50)^2 - 4\cdot 9 \cdot 25 = 2500 - 900 = 1600.
Raiz do discriminante:
\sqrt{\Delta}=40.
As raízes são
T = \frac{50 \pm 40}{2\cdot 9} = \frac{50 \pm 40}{18}.
Isso dá duas soluções:
T_1=\frac{50+40}{18}=\frac{90}{18}=5\quad\text{e}\quad T_2=\frac{50-40}{18}=\frac{10}{18}=\frac{5}{9}.
Como a queda tem um “último 1 s”, o tempo total T deve ser maior que 1 s. Portanto rejeitamos T_2=\tfrac{5}{9} e ficamos com
T=5\\ \text{s}.

Passo 6

Com T=5 s calculo H pela fórmula H=\tfrac{1}{2}gT^2:
H=\tfrac{1}{2}g\cdot 5^2=\tfrac{1}{2}g\cdot 25=\frac{25}{2}\,g.
Observação rápida de checagem: com T=5 temos H=\tfrac{25}{2}g e
s_{\text{último}}=\tfrac{1}{2}g(2\cdot 5 -1)=\tfrac{1}{2}g\cdot 9=\tfrac{9}{2}g,ú
e \tfrac{9/2}{25/2}= \tfrac{9}{25}=0{,}36, conferindo a condição do enunciado.

Resposta

H=\frac{25}{2}\,g

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