Uma bola A é lançada verticalmente para cima a partir do solo com velocidade
ao mesmo tempo em que uma outra bola B é lançada horizontalmente com a mesma velocidade inicial. Durante seu percurso a bola A passa pelo ponto de altura
em relação ao solo em dois instantes distintos. Mostre que a distância
percorrida pela bola
entre esses instantes é expressa por
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
-
Informações fornecidas:
- Uma bola A é lançada verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial
. - Outra bola B é lançada ao mesmo tempo, a partir do solo, com velocidade inicial horizontal de módulo
. - Durante o movimento, a bola A passa por uma certa altura
em relação ao solo em dois instantes distintos (ou seja, sobe e depois desce passando pela mesma altura ). - A aceleração da gravidade tem módulo
e age verticalmente para baixo.
- Uma bola A é lançada verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial
-
O que o enunciado pede:
- Mostrar que a distância horizontal
percorrida pela bola B entre os dois instantes em que A está na altura é
- Mostrar que a distância horizontal
Passo 2
Entender a equação do movimento vertical da bola A e escrever a condição para que ela esteja na altura
.
- Escolhemos o eixo vertical positivo para cima e origem no solo. Para um lançamento vertical para cima com velocidade inicial
e aceleração , a posição vertical em função do tempo é dada por (fórmula básica do MRUV):
-
Explicando a fórmula: o termo
é a contribuição da velocidade inicial ao deslocamento (velocidade vezes tempo) e o termo é a contribuição da aceleração constante (a fórmula geral é , aqui e ). -
A condição para que A esteja na altura
é:
Passo 3
Reescrever a equação como uma equação quadrática em
e aplicar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática).
- Colocando tudo num lado:
- Multiplicando por 2 para simplificar:
- Esta é uma equação quadrática padrão
com , , . A solução pela fórmula quadrática é
- Substituindo
, e :
- Simplificando o fator
dentro da raiz e os 2 em denominador:
Passo 4
Identificar os dois instantes em que A tem altura
e escrever a diferença entre eles.
- Os dois instantes são
onde
é o instante na subida e
é o instante na descida (explicando: usamos o sinal
para o tempo menor e o sinal
para o tempo maior).
- A diferença entre esses instantes é
- Simplificando:
- Interpretação física:
é o tempo que a bola A leva para descer da altura até a mesma altura vindo de cima, ou equivalentemente o intervalo entre as duas passagens pela altura .
Passo 5
Analisar o movimento da bola B e relacionar seu deslocamento horizontal com o intervalo de tempo
.
- A bola B é lançada horizontalmente com velocidade inicial horizontal de módulo
. Em movimentos com aceleração vertical e sem forças horizontais (pressuposição usual, sem resistência do ar), a componente horizontal da velocidade é constante. Assim a posição horizontal da bola B é
assumindo
no lançamento.
-
Explicando: como não há aceleração horizontal, a velocidade horizontal permanece
e deslocamento horizontal é velocidade vezes tempo. -
A distância horizontal percorrida por B entre os instantes
e é então
Passo 6
Substituir
achado no Passo 4 na expressão para
e simplificar para obter a fórmula requerida.
- Usando
,
- Observação física importante: para a raiz ser real precisamos de
, isto é,
que é justamente a condição de que a altura
esteja abaixo da altura máxima que a bola A alcança (a altura máxima é
). Faz sentido físico: se
fosse maior que a altura máxima, A nunca alcançaria essa altura e o enunciado ficaria sem sentido.