Uma bola A é lançada verticalmente para cima a partir do solo com velocidade v_{o} ao mesmo tempo em que uma outra bola B é lançada horizontalmente com a mesma velocidade inicial. Durante seu percurso a bola A passa pelo ponto de altura h em relação ao solo em dois instantes distintos. Mostre que a distância d percorrida pela bola B entre esses instantes é expressa por
d=\frac{2 v_{o}}{g} \sqrt{v_{o}^{2}-2 g h}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
  • Informações fornecidas:
    • Uma bola A é lançada verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial \,v_{o}\,.
    • Outra bola B é lançada ao mesmo tempo, a partir do solo, com velocidade inicial horizontal de módulo \,v_{o}\,.
    • Durante o movimento, a bola A passa por uma certa altura h em relação ao solo em dois instantes distintos (ou seja, sobe e depois desce passando pela mesma altura h).
    • A aceleração da gravidade tem módulo \,g\, e age verticalmente para baixo.
  • O que o enunciado pede:
    • Mostrar que a distância horizontal d percorrida pela bola B entre os dois instantes em que A está na altura h é
    d=\frac{2 v_{o}}{g} \sqrt{v_{o}^{2}-2 g h}.

Passo 2

Entender a equação do movimento vertical da bola A e escrever a condição para que ela esteja na altura h.
  • Escolhemos o eixo vertical positivo para cima e origem no solo. Para um lançamento vertical para cima com velocidade inicial \,v_{o}\, e aceleração -g, a posição vertical y(t) em função do tempo t é dada por (fórmula básica do MRUV):
y(t)=v_{o}t-\frac{1}{2}gt^{2}.
  • Explicando a fórmula: o termo v_{o}t é a contribuição da velocidade inicial ao deslocamento (velocidade vezes tempo) e o termo -\tfrac{1}{2}gt^{2} é a contribuição da aceleração constante (a fórmula geral é y=y_0+v_{0}t+\tfrac{1}{2}at^{2}, aqui y_0=0 e a=-g).
  • A condição para que A esteja na altura h é:
v_{o}t-\frac{1}{2}gt^{2}=h.

Passo 3

Reescrever a equação como uma equação quadrática em t e aplicar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática).
  • Colocando tudo num lado:
\frac{1}{2}gt^{2}-v_{o}t+h=0.
  • Multiplicando por 2 para simplificar:
gt^{2}-2v_{o}t+2h=0.
  • Esta é uma equação quadrática padrão at^{2}+bt+c=0 com a=g, b=-2v_{o}, c=2h. A solução pela fórmula quadrática é
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
  • Substituindo a, b e c:
t=\frac{2v_{o}\pm\sqrt{(-2v_{o})^{2}-4g\cdot 2h}}{2g} =\frac{2v_{o}\pm\sqrt{4v_{o}^{2}-8gh}}{2g}.
  • Simplificando o fator 4 dentro da raiz e os 2 em denominador:
t=\frac{2v_{o}\pm 2\sqrt{v_{o}^{2}-2gh}}{2g} =\frac{v_{o}\pm\sqrt{v_{o}^{2}-2gh}}{g}.

Passo 4

Identificar os dois instantes em que A tem altura h e escrever a diferença entre eles.
  • Os dois instantes são
t_{1}=\frac{v_{o}-\sqrt{v_{o}^{2}-2gh}}{g}, \qquad t_{2}=\frac{v_{o}+\sqrt{v_{o}^{2}-2gh}}{g},
onde t_{1} é o instante na subida e t_{2} é o instante na descida (explicando: usamos o sinal - para o tempo menor e o sinal + para o tempo maior).
  • A diferença entre esses instantes é
\Delta t=t_{2}-t_{1} =\frac{v_{o}+\sqrt{v_{o}^{2}-2gh}}{g}-\frac{v_{o}-\sqrt{v_{o}^{2}-2gh}}{g}.
  • Simplificando:
\Delta t=\frac{2\sqrt{v_{o}^{2}-2gh}}{g}.
  • Interpretação física: \Delta t é o tempo que a bola A leva para descer da altura h até a mesma altura vindo de cima, ou equivalentemente o intervalo entre as duas passagens pela altura h.

Passo 5

Analisar o movimento da bola B e relacionar seu deslocamento horizontal com o intervalo de tempo \Delta t.
  • A bola B é lançada horizontalmente com velocidade inicial horizontal de módulo \,v_{o}\,. Em movimentos com aceleração vertical e sem forças horizontais (pressuposição usual, sem resistência do ar), a componente horizontal da velocidade é constante. Assim a posição horizontal x(t) da bola B é
x(t)=v_{o}t,
assumindo x=0 no lançamento.
  • Explicando: como não há aceleração horizontal, a velocidade horizontal permanece v_{o} e deslocamento horizontal é velocidade vezes tempo.
  • A distância horizontal percorrida por B entre os instantes t_{1} e t_{2} é então
d=x(t_{2})-x(t_{1})=v_{o}(t_{2}-t_{1})=v_{o}\Delta t.

Passo 6

Substituir \Delta t achado no Passo 4 na expressão para d e simplificar para obter a fórmula requerida.
  • Usando \Delta t=\dfrac{2\sqrt{v_{o}^{2}-2gh}}{g},
d=v_{o}\cdot\frac{2\sqrt{v_{o}^{2}-2gh}}{g} =\frac{2v_{o}}{g}\sqrt{v_{o}^{2}-2gh}.
  • Observação física importante: para a raiz ser real precisamos de v_{o}^{2}-2gh\ge 0, isto é,
h\le\frac{v_{o}^{2}}{2g},
que é justamente a condição de que a altura h esteja abaixo da altura máxima que a bola A alcança (a altura máxima é \tfrac{v_{o}^{2}}{2g}). Faz sentido físico: se h fosse maior que a altura máxima, A nunca alcançaria essa altura e o enunciado ficaria sem sentido.

Resposta

d=\frac{2 v_{o}}{g} \sqrt{v_{o}^{2}-2 g h}

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