Considerando ainda o problema anterior, suponha que um segundo objeto se desloca sobre uma reta paralela (com mesma orientação) em movimento uniforme a partir da posição -3 m. a) Qual a velocidade deste segundo objeto para que o mesmo cruze duas vezes com o primeiro? b) No caso de ocorrer apenas um cruzamento entre os objetos, em que instante isto ocorreria? (Resp. a) v>1 m / s b) 3 s )

Passo 1

O enunciado desta continuação diz que há um segundo objeto que se desloca sobre uma reta paralela (mesma orientação) em movimento uniforme, partindo da posição -3\\ \mathrm{m}. As perguntas são:
  • (a) Qual a velocidade v desse segundo objeto para que ele cruze o primeiro objeto duas vezes?
  • (b) Se ocorrer apenas um cruzamento entre os objetos, em que instante ele ocorre?
Vou usar a informação do problema anterior sobre o movimento do primeiro objeto. Do problema anterior temos a posição do primeiro objeto dada por
x_1(t)=t^2-5t+6,
onde x_1(t) está em metros e t em segundos. (Estou tomando essa expressão porque é a que o “problema anterior” fornece; ela será usada em toda a resolução.)
Informações dadas resumidas:
  • Posição inicial do segundo objeto: -3\\ \mathrm{m}.
  • Movimento do segundo objeto: uniforme com velocidade desconhecida v (em \mathrm{m/s}).
  • Posição do primeiro objeto: x_1(t)=t^2-5t+6.
  • Perguntas: achar condição em v para duas interseções e, no caso de uma única interseção, quando ela ocorre.

Passo 2

Escrevo a posição do segundo objeto como função do tempo. Movimento uniforme com posição inicial -3 e velocidade v dá:
x_2(t)=-3+vt.
Aqui x_2(t) está em metros, v em \mathrm{m/s} e t em segundos.

Passo 3

Interseção (cruzamento) dos objetos significa que, em algum instante t, as posições coincidem:
x_1(t)=x_2(t).
Substituindo as expressões,
t^2-5t+6 = -3 + vt.
Levo todos os termos para um lado para obter uma equação polinomial em t:
t^2 -5t +6 +3 - vt =0
ou
t^2 +(-5 - v)\,t +9 = 0.
Esta é uma equação quadrática na variável t. Vou analisar quantas soluções reais essa equação tem — cada solução real e não-negativa corresponde a um instante de cruzamento.

Passo 4

Lembrete (mini-aula): Para uma equação quadrática genérica
at^2 + bt + c = 0,
as soluções (raízes) são dadas pela fórmula de Bhaskara:
t=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde o discriminante é
\Delta = b^2 - 4ac.
Interpretação do discriminante:
  • Se \Delta>0: duas raízes reais distintas (a equação tem dois instantes de cruzamento).
  • Se \Delta=0: uma raiz real dupla (cruzamento tangente — um único instante, com multiplicidade 2).
  • Se \Delta<0: nenhuma raiz real (nenhum cruzamento real).
No nosso caso a=1, b = -5 - v e c=9. Vou calcular \Delta.

Passo 5

Calculo do discriminante:
\Delta = (-5 - v)^2 - 4\cdot 1 \cdot 9.
Simplificando,
\Delta = (v+5)^2 - 36.
Para haver duas interseções precisamos de \Delta>0. Então resolvo:
(v+5)^2 -36 > 0 \quad\Longrightarrow\quad (v+5)^2 > 6^2.
Isto significa
|v+5|>6.
Isso se divide em duas possibilidades:
v+5>6 \quad\text{ou}\quad v+5<-6.
A primeira dá v>1. A segunda dá v<-11.

Passo 6

Interpretação física e escolha da resposta para (a):
  • A condição matemática para duas interseções é v>1 ou v<-11.
  • A solução v<-11\\ \mathrm{m/s} representa uma velocidade negativa muito grande em módulo (o segundo objeto correndo fortemente na direção oposta). Se considerarmos apenas velocidades para frente (ou fisicamente razoáveis), a condição mais plausível e relevante é
v>1\\ \mathrm{m/s}.
Além disso, posso verificar que para v>1 as duas raízes são positivas: a soma das raízes é \dfrac{-b}{a}=v+5>6 (positiva) e o produto é \dfrac{c}{a}=9>0, logo ambas positivas — o que garante dois instantes de cruzamento com t>0. Portanto a resposta prática para (a) é v>1\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Agora trato o caso de um único cruzamento (item b). Isso corresponde a \Delta=0. Então:
(v+5)^2 -36 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (v+5)^2 = 36.
As soluções são v+5 = 6 ou v+5 = -6, isto é v=1 ou v=-11.
  • Para v=1 temos a situação tangente que ocorre em tempo dado por a fórmula da raiz dupla:
t = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-5 - v)}{2} = \frac{v+5}{2}.
Substituindo v=1
t = \frac{1+5}{2} = 3\\ \mathrm{s}.
  • Para v=-11 também haveria \Delta=0, mas aí
t = \frac{-(-5 - (-11))}{2} = \frac{-(-5 +11)}{2} = \frac{6}{2}=3\\ \mathrm{s},
porém esse caso corresponde a uma velocidade negativa grande; fisicamente, se descartarmos velocidades muito negativas, o caso relevante é v=1 e o instante de cruzamento único é t=3\\ \mathrm{s}.
Portanto, no caso físico típico em que observamos apenas um cruzamento, ele ocorre em t=3\\ \mathrm{s}.

Resposta

a) v>1\\ \mathrm{m/s}
b) 3\\ \mathrm{s}

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