Considerando ainda o problema anterior, suponha que um segundo objeto se desloca sobre uma reta paralela (com mesma orientação) em movimento uniforme a partir da posição
. a) Qual a velocidade deste segundo objeto para que o mesmo cruze duas vezes com o primeiro? b) No caso de ocorrer apenas um cruzamento entre os objetos, em que instante isto ocorreria? (Resp. a)
)
Passo 1
O enunciado desta continuação diz que há um segundo objeto que se desloca sobre uma reta paralela (mesma orientação) em movimento uniforme, partindo da posição
. As perguntas são:
- (a) Qual a velocidade
desse segundo objeto para que ele cruze o primeiro objeto duas vezes? - (b) Se ocorrer apenas um cruzamento entre os objetos, em que instante ele ocorre?
Vou usar a informação do problema anterior sobre o movimento do primeiro objeto. Do problema anterior temos a posição do primeiro objeto dada por
onde
está em metros e
em segundos. (Estou tomando essa expressão porque é a que o “problema anterior” fornece; ela será usada em toda a resolução.)
Informações dadas resumidas:
Informações dadas resumidas:
- Posição inicial do segundo objeto:
. - Movimento do segundo objeto: uniforme com velocidade desconhecida
(em ). - Posição do primeiro objeto:
. - Perguntas: achar condição em
para duas interseções e, no caso de uma única interseção, quando ela ocorre.
Passo 2
Escrevo a posição do segundo objeto como função do tempo. Movimento uniforme com posição inicial
e velocidade
dá:
Aqui
está em metros,
em
e
em segundos.
Passo 3
Interseção (cruzamento) dos objetos significa que, em algum instante
, as posições coincidem:
Substituindo as expressões,
Levo todos os termos para um lado para obter uma equação polinomial em
:
ou
Esta é uma equação quadrática na variável
. Vou analisar quantas soluções reais essa equação tem — cada solução real e não-negativa corresponde a um instante de cruzamento.
Passo 4
Lembrete (mini-aula): Para uma equação quadrática genérica
as soluções (raízes) são dadas pela fórmula de Bhaskara:
onde o discriminante é
Interpretação do discriminante:
- Se
: duas raízes reais distintas (a equação tem dois instantes de cruzamento). - Se
: uma raiz real dupla (cruzamento tangente — um único instante, com multiplicidade 2). - Se
: nenhuma raiz real (nenhum cruzamento real).
No nosso caso
,
e
. Vou calcular
.
Passo 5
Calculo do discriminante:
Simplificando,
Para haver duas interseções precisamos de
. Então resolvo:
Isto significa
Isso se divide em duas possibilidades:
A primeira dá
. A segunda dá
.
Passo 6
Interpretação física e escolha da resposta para (a):
- A condição matemática para duas interseções é
ou . - A solução
representa uma velocidade negativa muito grande em módulo (o segundo objeto correndo fortemente na direção oposta). Se considerarmos apenas velocidades para frente (ou fisicamente razoáveis), a condição mais plausível e relevante é
Além disso, posso verificar que para
as duas raízes são positivas: a soma das raízes é
(positiva) e o produto é
, logo ambas positivas — o que garante dois instantes de cruzamento com
. Portanto a resposta prática para (a) é
.
Passo 7
Agora trato o caso de um único cruzamento (item b). Isso corresponde a
. Então:
As soluções são
ou
, isto é
ou
.
- Para
temos a situação tangente que ocorre em tempo dado por a fórmula da raiz dupla:
Substituindo
dá
- Para
também haveria , mas aí
porém esse caso corresponde a uma velocidade negativa grande; fisicamente, se descartarmos velocidades muito negativas, o caso relevante é
e o instante de cruzamento único é
.
Portanto, no caso físico típico em que observamos apenas um cruzamento, ele ocorre em
.
Resposta
a)
b)
b)