Uma arma dispara balas que saem de sua boca com velocidade de
. Para que uma bala atinja um alvo a
de distância, em nível com a boca da arma, é necessário fazer a pontaria num ponto acima do alvo. A que altura fica este ponto? (Resp.
)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Velocidade inicial da bala:
. - Distância horizontal ao alvo (na mesma altura da boca da arma):
. - Pergunta: a que altura (acima do alvo) deve-se apontar a arma, isto é, qual o deslocamento vertical
do ponto onde se aponta em relação ao alvo, de modo que a bala atinja o alvo?
Observações implícitas que vamos usar sem perguntar: desprezamos resistência do ar e a aceleração da gravidade vale.
Passo 2
Entender o que significa “apontar num ponto acima do alvo”.
Se a arma é apontada para um ponto a uma altura acima do alvo e a distância horizontal até esse ponto é
, então a direção do disparo forma um ângulo
com a horizontal tal que
Se a arma é apontada para um ponto a uma altura
Ou seja, sabendo
podemos obter
por
. Nosso objetivo então é encontrar o ângulo de lançamento
que faz a bala, lançada com velocidade
e ângulo
, atingir novamente a mesma altura após percorrer
horizontalmente.
Passo 3
Equações do movimento do projétil (desprezando resistência do ar). Em coordenadas com origem na boca da arma:
- componente horizontal da posição em função do tempo:
- componente vertical da posição:
Para atingir o alvo na mesma altura da boca da arma, queremos
no instante em que
.
Passo 4
Achar o tempo
em que a bala alcança
. Da equação horizontal:
Substituímos esse
em
.
Passo 5
Substituindo em
:
Simplificando (cancelando
onde apropriado) obtemos a fórmula do alcance para lançamento e aterrissagem na mesma altura:
Usando a identidade
e
ou, mais direto, rearranjando com a identidade trigonométrica
, chega-se à forma clássica
Esta é a relação que liga
,
,
e
.
Passo 6
Resolver para
. Da equação do alcance:
Substituindo números (
,
,
):
Como o valor é pequeno,
é pequeno e podemos tomar
logo
Passo 7
Calcular
a partir de
. Lembrando
. Calculemos
. Para um ângulo tão pequeno podemos usar a aproximação por série ou calcular diretamente com boa precisão; usando a expansão
para pequenos
:
Multiplicando por
vem
Arredondando de forma conveniente obtemos