Uma arma dispara balas que saem de sua boca com velocidade de 250 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Para que uma bala atinja um alvo a 100 m de distância, em nível com a boca da arma, é necessário fazer a pontaria num ponto acima do alvo. A que altura fica este ponto? (Resp. h=0,785 m )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Velocidade inicial da bala: v_{0}=250\\ \mathrm{m/s}.
  • Distância horizontal ao alvo (na mesma altura da boca da arma): R=100\\ \mathrm{m}.
  • Pergunta: a que altura (acima do alvo) deve-se apontar a arma, isto é, qual o deslocamento vertical h do ponto onde se aponta em relação ao alvo, de modo que a bala atinja o alvo?
    Observações implícitas que vamos usar sem perguntar: desprezamos resistência do ar e a aceleração da gravidade vale g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Entender o que significa “apontar num ponto acima do alvo”.
Se a arma é apontada para um ponto a uma altura h acima do alvo e a distância horizontal até esse ponto é R, então a direção do disparo forma um ângulo \theta com a horizontal tal que
\tan\theta=\frac{h}{R}.
Ou seja, sabendo \theta podemos obter h por h=R\tan\theta. Nosso objetivo então é encontrar o ângulo de lançamento \theta que faz a bala, lançada com velocidade \;v_{0}\; e ângulo \theta, atingir novamente a mesma altura após percorrer R=100\\ \mathrm{m} horizontalmente.

Passo 3

Equações do movimento do projétil (desprezando resistência do ar). Em coordenadas com origem na boca da arma:
  • componente horizontal da posição em função do tempo:
x(t)=v_{0}\cos\theta\; t.
  • componente vertical da posição:
y(t)=v_{0}\sin\theta\; t-\frac{1}{2}gt^{2}.
Para atingir o alvo na mesma altura da boca da arma, queremos y(t)=0 no instante em que x(t)=R.

Passo 4

Achar o tempo t em que a bala alcança x=R. Da equação horizontal:
t=\frac{R}{v_{0}\cos\theta}.
Substituímos esse t em y(t)=0.

Passo 5

Substituindo em y(t)=0:
0=v_{0}\sin\theta\left(\frac{R}{v_{0}\cos\theta}\right)-\frac{1}{2}g\left(\frac{R}{v_{0}\cos\theta}\right)^{2}.
Simplificando (cancelando v_{0} onde apropriado) obtemos a fórmula do alcance para lançamento e aterrissagem na mesma altura:
0=R\tan\theta-\frac{gR^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}.
Usando a identidade \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} e \dfrac{1}{\cos^{2}\theta}=1+\tan^{2}\theta ou, mais direto, rearranjando com a identidade trigonométrica \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta, chega-se à forma clássica
R=\frac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}.
Esta é a relação que liga R, v_{0}, g e \theta.

Passo 6

Resolver para \theta. Da equação do alcance:
\sin(2\theta)=\frac{gR}{v_{0}^{2}}.
Substituindo números ( g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, R=100\\ \mathrm{m}, v_{0}=250\\ \mathrm{m/s}):
\sin(2\theta)=\frac{9{,}81\cdot 100}{250^{2}}=\frac{981}{62500}=0{,}015696.
Como o valor é pequeno, 2\theta é pequeno e podemos tomar
2\theta=\arcsin(0{,}015696)\approx 0{,}015696\\ \text{rad},
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\theta\approx\frac{0{,}015696}{2}=0{,}007848\\ \text{rad}.

Passo 7

Calcular h a partir de \theta. Lembrando h=R\tan\theta. Calculemos \tan\theta. Para um ângulo tão pequeno podemos usar a aproximação por série ou calcular diretamente com boa precisão; usando a expansão \tan x\approx x+\dfrac{x^{3}}{3} para pequenos x:
\tan\theta\approx 0{,}007848+\frac{(0{,}007848)^{3}}{3}\approx 0{,}00784816.
Multiplicando por R=100\\ \mathrm{m} vem
h=100\cdot 0{,}00784816\approx 0{,}784816\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma conveniente obtemos
h\approx 0{,}785\\ \mathrm{m}.

Resposta

h=0{,}785\\ \mathrm{m}

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