1.14 Uma placa, que dista 0.5 mm de uma placa fixa, move-se a 0,25 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e necessita de uma força por unidade de área de 2 \mathrm{~Pa}\left(\mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}\right) para manter a velocidade-constánte. Determinar a viscosidade da substância entre as placas em unidades SI.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • distância entre as placas: d = 0{,}5\\ \text{mm};
    • velocidade da placa móvel: U = 0{,}25\\ \text{m/s};
    • força por unidade de área necessária (tensão de cisalhamento): \tau = 2\\ \text{Pa} (ou seja, 2\\ \text{N/m}^2).
  • O que o enunciado pede:
    • determinar a viscosidade dinâmica da substância entre as placas em unidades SI (ou seja, \mu em \mathrm{Pa\cdot s}).

Passo 2

Explicação da lei física e das fórmulas que vamos usar (aula curta e direta).
Para um fluido newtoniano entre duas placas paralelas, com uma placa fixa e a outra deslizando com velocidade constante U, o escoamento em regime laminar e estacionário gera um perfil de velocidade aproximadamente linear entre as placas. Nessa situação a tensão de cisalhamento \tau é proporcional ao gradiente de velocidade normal à placa. A lei de Newton da viscosidade é:
\tau = \mu \,\frac{\partial u}{\partial y},
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento (força por unidade de área), em \mathrm{Pa};
  • \mu é a viscosidade dinâmica (o que queremos), em \mathrm{Pa\cdot s};
  • u(y) é a componente da velocidade na direção da placa, função da coordenada y perpendicular às placas;
  • \dfrac{\partial u}{\partial y} é o gradiente de velocidade (variação da velocidade por unidade de distância perpendicular).
Para o caso de perfil linear entre as placas, o gradiente é simplesmente U/d. Portanto usamos a forma prática:
\tau = \mu\,\frac{U}{d}.
Isolando \mu:
\mu = \tau\,\frac{d}{U}.

Passo 3

Converter todas as grandezas para unidades SI e substituir na fórmula.
Primeiro converto a distância d de milímetros para metros. Como peguei essa informação do enunciado, faço a conversão:
d = 0{,}5\\ \text{mm} = 0{,}5\times10^{-3}\\ \text{m} = 5\times10^{-4}\\ \text{m}.
Os outros dados já estão em SI:
U = 0{,}25\\ \text{m/s},\qquad \tau = 2\\ \text{Pa}.

Passo 4

Calcular \mu passo a passo usando a fórmula.
\mu = \tau\,\frac{d}{U}.
Substituindo os valores:
\mu = 2 \times \frac{5\times10^{-4}}{0{,}25}.
Faço a divisão dentro da fração primeiro:
\frac{5\times10^{-4}}{0{,}25} = 5\times10^{-4}\times\frac{1}{0{,}25} = 5\times10^{-4}\times4 = 2\times10^{-3}.
Agora multiplico por 2:
\mu = 2 \times 2\times10^{-3} = 4\times10^{-3}.
Unidades: \mu fica em \mathrm{Pa\cdot s} (que é equivalente a \mathrm{N\cdot s/m^2}).
Interpretação rápida e incentivo: isso significa que a substância tem viscosidade \,4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, bem menor que a da água a 20^\circC (que é cerca de 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}), então é um fluido relativamente pouco viscoso — mas não se preocupe se isso soar estranho agora; o importante é saber aplicar a fórmula na prova!

Resposta

\mu = 4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}

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