1.17 Um cilindro de aço de 1 in . de diâmetro e 12 in . de comprimento cai, sob ação do peso próprio, com velocidade constante de
dentro de um tubo de diâmetro ligeiramente máior. Existe uma película de óleo de rícino com espessura constante entre o cilindro e o tubo. Determinar a folga existente entre o tubo e o cilindro. A temperatura é
. Densidade do aço
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo o que importa para resolver o problema):
- Diâmetro do cilindro:
. - Comprimento do cilindro:
. - Velocidade terminal (constante) de queda do cilindro:
. - Existe uma película de óleo de rícino de espessura constante entre o cilindro e o tubo; quer-se determinar essa folga (espessura do filme radial).
- Temperatura:
. - Densidade do aço:
(valor dado sem unidade no enunciado; vou interpretar como que é a forma usual).
Convertendo para unidades SI (mais seguras para cálculos):.
O que o enunciado pede:
- Determinar a folga radial entre o cilindro e o tubo (ou seja, a espessura da película de óleo) que permite que o cilindro caia com velocidade terminal dada.
Observação importante (que vai afetar o resultado numérico):
- Para obter um valor numérico final é necessária a viscosidade dinâmica do óleo de rícino à
(e também a densidade do óleo se for usada a empuxo). O enunciado não fornece a viscosidade nem dá uma tabela de propriedades; portanto não há um único valor numérico “exato” sem essa propriedade. Vou derivar a fórmula que relaciona a folga com a viscosidade e, em seguida, apresentar um cálculo estimado usando um valor típico de viscosidade do óleo de rícino à temperatura indicada (marcarei explicitamente que é estimativa).
Passo 2
Escolha do método e modelo físico (explicado passo a passo, sem pular etapas)
- Quando o cilindro cai com velocidade constante, as forças verticais devem estar em equilíbrio: força peso para baixo menos empuxo (se houver) para cima é igual à força viscosa de resistência para cima. Ou seja, força líquida motriz = força viscosa resistiva.
- Peso (força peso) do cilindro: é o peso do volume do aço. O empuxo é o peso do fluido deslocado (óleo) — trataremos o cilindro como totalmente imerso no fluido do anel (o que é correto: há óleo em toda a superfície lateral do cilindro na região do filme).
- Para filme fino (folga pequena frente ao raio do cilindro) podemos usar a aproximação de escoamento de cisalhamento simples (fluxo tipo “Couette”): gradiente de velocidade ~
, onde é a espessura do filme radial. A tensão de cisalhamento na superfície do cilindro é , com a viscosidade dinâmica do óleo. - A força viscosa total sobre o cilindro é tensão de cisalhamento vezes a área lateral do cilindro:
, onde é o raio do cilindro e o comprimento envolvido (aqui todo o comprimento do cilindro, assumindo que o filme existe por todo o comprimento).
Esse é um modelo clássico, simples e adequado quando a folga é pequena comparada ao raio (caso de lubrificação hidrodinâmica em fendas estreitas). Vou agora escrever as expressões matemáticas correspondentes.
Passo 3
Escrever as expressões das forças (com explicação de cada termo)
- Volume do cilindro (vai aparecer no peso e no empuxo):
onde
é o raio do cilindro e
seu comprimento.
- Força peso do cilindro (para baixo):
onde
é a densidade do aço (massa por volume) e
a aceleração da gravidade.
- Empuxo (para cima) devido ao óleo:
onde
é a densidade do óleo (massa por volume). O empuxo tem a mesma expressão do peso do fluido deslocado.
- Força viscosa de resistência (assumindo escoamento tipo Couette com gradiente
):
Portanto
Passo 4
Equilíbrio de forças e dedução da fórmula para a folga
- Equilíbrio vertical (velocidade constante) significa:
Substituindo as expressões:
- Podemos simplificar
dos dois lados:
- Isolando
:
Comentário didático: essa expressão é intuitiva — quanto maior a viscosidade
ou a velocidade
, maior deve ser a folga
para que o cisalhamento dê a resistência necessária; quanto maior a diferença de densidades
(mais força peso líquida), menor será
para equilibrar essa força com o cisalhamento.
Passo 5
Colocar os números conhecidos (conversões de unidades, explicadas)
Vou trabalhar em unidades SI para evitar confusões. Primeiro converto todos os dados:
Vou trabalhar em unidades SI para evitar confusões. Primeiro converto todos os dados:
-
. Então . -
. - Velocidade:
- Densidade do aço (convertida do dado):
- Aceleração da gravidade:
.
Falta a viscosidade dinâmica
do óleo de rícino a
e a densidade do óleo
. O enunciado não as fornece. Então:
- Se for necessária precisão exata, não é possível calcular um valor numérico único sem o valor de
(e sem se quiser incluir empuxo). - Vou assumir um valor típico para a densidade do óleo de rícino:
(valor típico próximo de ). - Para a viscosidade dinâmica do óleo de rícino à
(aprox. ) um valor típico razoável é da ordem de algumas décimas a unidade de . Vou usar uma estimativa representativa . Importante: este é um valor de referência/estimativa — se tiver a tabela do livro ou dados experimentais, substituir por esse número para obter o resultado correto.
Vou manter claro que o valor final é estimado com essas hipóteses.
Passo 6
Substituir na fórmula e calcular (com explicação de cada passo aritmético)
A fórmula que obtivemos foi
A fórmula que obtivemos foi
Substituindo os números (em SI):
Calculo do numerador:
(mais direto:
.)
Calculo do denominador:
Primeiro
(unidade
), e em seguida
(aprox; unidade
equivalendo a Pa).
Agora
Converter para milímetros e polegadas (para intuição):
Em polegadas:
Interpretação: com a estimativa de viscosidade
e densidade do óleo
, a folga radial necessária para produzir a resistência viscosa que equilibra o peso líquido do cilindro é cerca de
(≈
in). Se a viscosidade real for maior, a folga calculada aumenta proporcionalmente; se a viscosidade for menor, a folga diminui proporcionalmente (pois
).
Passo 7
Resumo didático final e dicas para a prova
- Fórmula final (útil para aplicar em prova se derem
e ):
Explicação curta: equilibrei peso líquido e força viscosa assumindo escoamento por cisalhamento no filme fino; cancelei fatores geométricos comuns e isolei
.
- Em prova: faça as conversões de unidades com calma (recomendo SI), calcule primeiro
e depois o numerador . Verifique se a hipótese de filme fino é razoável (a folga obtida deve ser muito menor que ). - Se faltar a viscosidade no enunciado, explique que é necessária e que se deve usar a tabela de propriedades ou um valor típico; mostre que
é linear em — isso ganha pontos se não derem o número.
Resposta
Estimativa:
(valor obtido assumindo
e
).