1.17 Um cilindro de aço de 1 in . de diâmetro e 12 in . de comprimento cai, sob ação do peso próprio, com velocidade constante de 0,5 \mathrm{ft} / \mathrm{s} dentro de um tubo de diâmetro ligeiramente máior. Existe uma película de óleo de rícino com espessura constante entre o cilindro e o tubo. Determinar a folga existente entre o tubo e o cilindro. A temperatura é 100^{\circ} \mathrm{F}. Densidade do aço =7,85.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo o que importa para resolver o problema):
  • Diâmetro do cilindro: \displaystyle D=1\\ \text{in.}.
  • Comprimento do cilindro: \displaystyle L=12\\ \text{in.}.
  • Velocidade terminal (constante) de queda do cilindro: \displaystyle V=0{,}5\\ \text{ft/s}.
  • Existe uma película de óleo de rícino de espessura constante entre o cilindro e o tubo; quer-se determinar essa folga (espessura do filme radial).
  • Temperatura: \displaystyle 100^\circ\text{F}.
  • Densidade do aço: \displaystyle \rho_s=7{,}85 (valor dado sem unidade no enunciado; vou interpretar como \displaystyle 7{,}85\\ \text{g/cm}^3 que é a forma usual).
    Convertendo para unidades SI (mais seguras para cálculos): \displaystyle \rho_s=7850\\ \text{kg/m}^3.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a folga radial entre o cilindro e o tubo (ou seja, a espessura da película de óleo) que permite que o cilindro caia com velocidade terminal dada.
Observação importante (que vai afetar o resultado numérico):
  • Para obter um valor numérico final é necessária a viscosidade dinâmica do óleo de rícino à \displaystyle 100^\circ\text{F} (e também a densidade do óleo se for usada a empuxo). O enunciado não fornece a viscosidade nem dá uma tabela de propriedades; portanto não há um único valor numérico “exato” sem essa propriedade. Vou derivar a fórmula que relaciona a folga com a viscosidade e, em seguida, apresentar um cálculo estimado usando um valor típico de viscosidade do óleo de rícino à temperatura indicada (marcarei explicitamente que é estimativa).

Passo 2

Escolha do método e modelo físico (explicado passo a passo, sem pular etapas)
  • Quando o cilindro cai com velocidade constante, as forças verticais devem estar em equilíbrio: força peso para baixo menos empuxo (se houver) para cima é igual à força viscosa de resistência para cima. Ou seja, força líquida motriz = força viscosa resistiva.
  • Peso (força peso) do cilindro: é o peso do volume do aço. O empuxo é o peso do fluido deslocado (óleo) — trataremos o cilindro como totalmente imerso no fluido do anel (o que é correto: há óleo em toda a superfície lateral do cilindro na região do filme).
  • Para filme fino (folga pequena frente ao raio do cilindro) podemos usar a aproximação de escoamento de cisalhamento simples (fluxo tipo “Couette”): gradiente de velocidade ~ V/h, onde h é a espessura do filme radial. A tensão de cisalhamento na superfície do cilindro é \tau\approx\mu\,\dfrac{V}{h}, com \mu a viscosidade dinâmica do óleo.
  • A força viscosa total sobre o cilindro é tensão de cisalhamento vezes a área lateral do cilindro: \displaystyle F_{\text{visc}} \approx \tau \times (2\pi R L), onde R é o raio do cilindro e L o comprimento envolvido (aqui todo o comprimento do cilindro, assumindo que o filme existe por todo o comprimento).
Esse é um modelo clássico, simples e adequado quando a folga é pequena comparada ao raio (caso de lubrificação hidrodinâmica em fendas estreitas). Vou agora escrever as expressões matemáticas correspondentes.

Passo 3

Escrever as expressões das forças (com explicação de cada termo)
  • Volume do cilindro (vai aparecer no peso e no empuxo):
V_{\text{cil}}=\pi R^2 L,
onde \displaystyle R=\frac{D}{2} é o raio do cilindro e \displaystyle L seu comprimento.
  • Força peso do cilindro (para baixo):
W=\rho_s\,V_{\text{cil}}\,g,
onde \displaystyle \rho_s é a densidade do aço (massa por volume) e \displaystyle g a aceleração da gravidade.
  • Empuxo (para cima) devido ao óleo:
E=\rho_o\,V_{\text{cil}}\,g,
onde \displaystyle \rho_o é a densidade do óleo (massa por volume). O empuxo tem a mesma expressão do peso do fluido deslocado.
  • Força viscosa de resistência (assumindo escoamento tipo Couette com gradiente V/h):
F_{\text{visc}} \approx \tau \times (2\pi R L) \quad\text{com}\quad \tau\approx\mu\,\frac{V}{h}.
Portanto
F_{\text{visc}} \approx \mu\,\frac{V}{h}\,(2\pi R L).

Passo 4

Equilíbrio de forças e dedução da fórmula para a folga h
  • Equilíbrio vertical (velocidade constante) significa:
W - E = F_{\text{visc}}.
Substituindo as expressões:
\rho_s\,(\pi R^2 L)\,g - \rho_o\,(\pi R^2 L)\,g = \mu\,\frac{V}{h}\,(2\pi R L).
  • Podemos simplificar \pi L dos dois lados:
(\rho_s-\rho_o) R^2 g = 2\mu\,\frac{V}{h}\,R.
  • Isolando h:
\boxed{\,h=\dfrac{2\mu V}{(\rho_s-\rho_o)\,R\,g}\,}.
Comentário didático: essa expressão é intuitiva — quanto maior a viscosidade \mu ou a velocidade V, maior deve ser a folga h para que o cisalhamento dê a resistência necessária; quanto maior a diferença de densidades (\rho_s-\rho_o) (mais força peso líquida), menor será h para equilibrar essa força com o cisalhamento.

Passo 5

Colocar os números conhecidos (conversões de unidades, explicadas)
Vou trabalhar em unidades SI para evitar confusões. Primeiro converto todos os dados:
  • D=1\\ \text{in.} = 1\times 0{,}0254\\ \text{m} = 0{,}0254\\ \text{m}. Então R=\dfrac{D}{2}=0{,}0127\\ \text{m}.
  • L=12\\ \text{in.}=12\times0{,}0254\\ \text{m}=0{,}3048\\ \text{m}.
  • Velocidade:
V=0{,}5\\ \text{ft/s}=0{,}5\times0{,}3048\\ \text{m/s}=0{,}1524\\ \text{m/s}.
  • Densidade do aço (convertida do dado):
\rho_s=7{,}85\\ \text{g/cm}^3 = 7{,}85\times10^3\\ \text{kg/m}^3 =7850\\ \text{kg/m}^3.
  • Aceleração da gravidade: \displaystyle g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.
Falta a viscosidade dinâmica \mu do óleo de rícino a \displaystyle 100^\circ\text{F} e a densidade do óleo \rho_o. O enunciado não as fornece. Então:
  • Se for necessária precisão exata, não é possível calcular um valor numérico único sem o valor de \mu (e sem \rho_o se quiser incluir empuxo).
  • Vou assumir um valor típico para a densidade do óleo de rícino: \displaystyle \rho_o\approx960\\ \text{kg/m}^3 (valor típico próximo de 0{,}96\\ \text{g/cm}^3).
  • Para a viscosidade dinâmica do óleo de rícino à \displaystyle 100^\circ\text{F} (aprox. 37{,}8^\circ\text{C}) um valor típico razoável é da ordem de algumas décimas a unidade de \text{Pa}\cdot\text{s}. Vou usar uma estimativa representativa \displaystyle \mu\approx0{,}25\\ \text{Pa}\cdot\text{s}. Importante: este é um valor de referência/estimativa — se tiver a tabela do livro ou dados experimentais, substituir por esse número para obter o resultado correto.
Vou manter claro que o valor final é estimado com essas hipóteses.

Passo 6

Substituir na fórmula e calcular (com explicação de cada passo aritmético)
A fórmula que obtivemos foi
h=\dfrac{2\mu V}{(\rho_s-\rho_o)\,R\,g}.
Substituindo os números (em SI):
\mu=0{,}25\\ \text{Pa}\cdot\text{s},\quad V=0{,}1524\\ \text{m/s},\quad \rho_s-\rho_o=7850-960=6890\\ \text{kg/m}^3,
R=0{,}0127\\ \text{m},\quad g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.
Calculo do numerador:
2\mu V = 2\times0{,}25\times0{,}1524 = 0{,}3048\times0{,}25 = 0{,}0762\\ \text{(unidade: Pa·s·m/s = Pa·m)}.
(mais direto: 2\mu V=2\cdot0{,}25\cdot0{,}1524=0{,}0762.)
Calculo do denominador:
(\rho_s-\rho_o) R g = 6890\times0{,}0127\times9{,}81.
Primeiro 6890\times0{,}0127 = 87{,}503 (unidade \text{kg}/\text{m}^2), e em seguida 87{,}503\times9{,}81=857{,}8 (aprox; unidade \text{N}/\text{m}^2 equivalendo a Pa).
Agora
h=\dfrac{0{,}0762}{857{,}8}\\ \text{m}\approx 8{,}89\times10^{-5}\\ \text{m}.
Converter para milímetros e polegadas (para intuição):
h\approx 8{,}89\times10^{-5}\\ \text{m}=0{,}0889\\ \text{mm}=88{,}9\\ \mu\text{m}.
Em polegadas:
1\\ \text{in}=0{,}0254\\ \text{m}\quad\Rightarrow\quad h\approx\dfrac{8{,}89\times10^{-5}}{0{,}0254}\\ \text{in}\approx3{,}50\times10^{-3}\\ \text{in}.
Interpretação: com a estimativa de viscosidade \mu=0{,}25\\ \text{Pa}\cdot\text{s} e densidade do óleo \rho_o=960\\ \text{kg/m}^3, a folga radial necessária para produzir a resistência viscosa que equilibra o peso líquido do cilindro é cerca de 0{,}089\\ \text{mm} (≈ 3{,}5\times10^{-3} in). Se a viscosidade real for maior, a folga calculada aumenta proporcionalmente; se a viscosidade for menor, a folga diminui proporcionalmente (pois h\propto\mu).

Passo 7

Resumo didático final e dicas para a prova
  • Fórmula final (útil para aplicar em prova se derem \mu e \rho_o):
\boxed{\,h=\dfrac{2\mu V}{(\rho_s-\rho_o)\,R\,g}\,}
Explicação curta: equilibrei peso líquido e força viscosa assumindo escoamento por cisalhamento no filme fino; cancelei fatores geométricos comuns e isolei h.
  • Em prova: faça as conversões de unidades com calma (recomendo SI), calcule primeiro (\rho_s-\rho_o)\,R\,g e depois o numerador 2\mu V. Verifique se a hipótese de filme fino é razoável (a folga obtida deve ser muito menor que R).
  • Se faltar a viscosidade no enunciado, explique que é necessária e que se deve usar a tabela de propriedades ou um valor típico; mostre que h é linear em \mu — isso ganha pontos se não derem o número.

Resposta

Estimativa: h\approx 8{,}9\times10^{-5}\\ \text{m}=0{,}0889\\ \text{mm}\approx3{,}50\times10^{-3}\\ \text{in} (valor obtido assumindo \mu=0{,}25\\ \text{Pa}\cdot\text{s} e \rho_o=960\\ \text{kg/m}^3).

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