2.14 Seja
na região 0)\leq \rho \leq 10,-\pi<\varphi<\pi
z
\rho_{v}=0
0 \leq \rho \leq 4,-\frac{1}{2} \pi<\varphi<\frac{1}{2} \pi
-10<z<10$.
Passo 1
O enunciado dá a densidade volumétrica de carga (na forma que consideramos correta para resolver):
na região
e
em qualquer outra parte. O enunciado pede duas coisas:
(a) determinar a carga total presente (isto é, a carga em todo o espaço, mas a função é não nula só na região acima);
(b) calcular a carga contida na região
(a) determinar a carga total presente (isto é, a carga em todo o espaço, mas a função é não nula só na região acima);
(b) calcular a carga contida na região
Listei acima todas as informações relevantes (a expressão da densidade e os limites de integração para cada caso). A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Estratégia geral (como transformar o enunciado em integrais): para obter carga total devemos integrar a densidade volumétrica sobre o volume onde ela é não nula. Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é
Então a carga total é a integral tripla
Como a função é produto de fatores que dependem separadamente de
,
e
, podemos separar a integral em produtos de integrais unidimensionais — isso simplifica muito o cálculo. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcule a integral em
necessária para (a) (limites
a
):
Como a função é par (depende de
), uso simetria:
Calculo a primitiva:
Avalio de
a
:
Passo 4
Calcule a integral em
para (a) (limites
a
):
Use a fórmula conhecida
Aqui
, logo
Passo 5
Calcule a integral em
para (a) (limites
a
):
Para integrar
usamos integração por partes ou a primitiva conhecida:
Aqui
, então
e
. Avaliando de
a
:
Passo 6
Multiplico as partes para formar
(a carga total). Lembre que há o fator
multiplicando todas as integrais:
Reescrevendo:
Podemos fatorar
:
Valor numérico aproximado (usando
e
):
Passo 7
Agora parte (b): escrevo a integral tripla na região dada:
Novamente separo as integrais por dependência separável.
Passo 8
Calcule a integral em
para (b) (limites
a
):
Calculo a primitiva como antes e avalio:
Multiplicando por
:
Passo 9
Calcule a integral em
para (b) (limites
a
):
A primitiva é
. Então
(Número aproximado:
, então
.)
Passo 10
Calcule a integral em
para (b) (limites
a
):
Usando a primitiva do Passo 5 com
:
Valor numérico:
então
.
Passo 11
Multiplico os fatores para obter
:
Simplificando constantes:
Valor numérico aproximado:
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)