2.14 Seja
\rho_{v}=5 e^{-0.1 \rho}\left(\pi-|\varphi| \frac{1}{z^{2}+10} \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}\right. na região 0)\leq \rho \leq 10,-\pi<\varphi<\pi , az e\rho_{v}=0 em qualquer outra parte. (a) Determine a carga total presente. (b) Calcule a carga dentro da regiãoã0 \leq \rho \leq 4,-\frac{1}{2} \pi<\varphi<\frac{1}{2} \pi ,-10<z<10$.

Passo 1

O enunciado dá a densidade volumétrica de carga (na forma que consideramos correta para resolver):
\rho_{v}(\rho,\varphi,z)=5\,e^{-0{,}1\rho}\,\frac{\big(\pi-|\varphi|\big)}{z^{2}+10}\\ \\ (\mu\text{C}/\text{m}^{3})
na região
0\le \rho\le 10,\quad -\pi<\varphi<\pi,\quad -\infty<z<\infty,
e \rho_{v}=0 em qualquer outra parte. O enunciado pede duas coisas:
(a) determinar a carga total presente (isto é, a carga em todo o espaço, mas a função é não nula só na região acima);
(b) calcular a carga contida na região
0\le \rho\le 4,\quad -\tfrac{1}{2}\pi<\varphi<\tfrac{1}{2}\pi,\quad -10<z<10.
Listei acima todas as informações relevantes (a expressão da densidade e os limites de integração para cada caso). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Estratégia geral (como transformar o enunciado em integrais): para obter carga total devemos integrar a densidade volumétrica sobre o volume onde ela é não nula. Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é
dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz.
Então a carga total é a integral tripla
Q=\iiint \rho_{v}(\rho,\varphi,z)\,dV =\int_{z}\int_{\varphi}\int_{\rho} 5\,e^{-0{,}1\rho}\,\frac{(\pi-|\varphi|)}{z^{2}+10}\,\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz.
Como a função é produto de fatores que dependem separadamente de \rho, \varphi e z, podemos separar a integral em produtos de integrais unidimensionais — isso simplifica muito o cálculo. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcule a integral em \varphi necessária para (a) (limites -\pi a \pi):
I_{\varphi}^{(a)}=\int_{-\pi}^{\pi}\big(\pi-|\varphi|\big)\,d\varphi.
Como a função é par (depende de |\varphi|), uso simetria:
I_{\varphi}^{(a)}=2\int_{0}^{\pi}(\pi-\varphi)\,d\varphi.
Calculo a primitiva:
\int(\pi-\varphi)\,d\varphi=\pi\varphi-\tfrac{1}{2}\varphi^{2}.
Avalio de 0 a \pi:
I_{\varphi}^{(a)}=2\Big(\pi\cdot\pi-\tfrac{1}{2}\pi^{2}\Big)=2\Big(\tfrac{1}{2}\pi^{2}\Big)=\pi^{2}.

Passo 4

Calcule a integral em z para (a) (limites -\infty a \infty):
I_{z}^{(a)}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z^{2}+10}\,dz.
Use a fórmula conhecida
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z^{2}+a^{2}}\,dz=\frac{\pi}{a}\quad(a>0).
Aqui a=\sqrt{10}, logo
I_{z}^{(a)}=\frac{\pi}{\sqrt{10}}.

Passo 5

Calcule a integral em \rho para (a) (limites 0 a 10):
I_{\rho}^{(a)}=\int_{0}^{10} e^{-0{,}1\rho}\,\rho\,d\rho.
Para integrar \int \rho e^{-\alpha\rho}d\rho usamos integração por partes ou a primitiva conhecida:
\int \rho e^{-\alpha\rho}d\rho=-\Big(\frac{\rho}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^{2}}\Big)e^{-\alpha\rho}+C.
Aqui \alpha=0{,}1, então 1/\alpha=10 e 1/\alpha^{2}=100. Avaliando de 0 a 10:
I_{\rho}^{(a)}=\Big[-(10\rho+100)e^{-0{,}1\rho}\Big]_{0}^{10} =-(100+100)e^{-1} -\big[-100\big] =100-200e^{-1}.

Passo 6

Multiplico as partes para formar Q (a carga total). Lembre que há o fator 5 multiplicando todas as integrais:
Q=5\;I_{\rho}^{(a)}\;I_{\varphi}^{(a)}\;I_{z}^{(a)} =5\big(100-200e^{-1}\big)\cdot\pi^{2}\cdot\frac{\pi}{\sqrt{10}}.
Reescrevendo:
Q=\frac{5\pi^{3}}{\sqrt{10}}\big(100-200e^{-1}\big).
Podemos fatorar 100:
Q=\frac{500\pi^{3}}{\sqrt{10}}\Big(1-\frac{2}{e}\Big)\quad(\mu\text{C}).
Valor numérico aproximado (usando e\approx2{,}7182818 e \pi\approx3{,}1415927):
Q\approx 1{,}296{,}08\\ \mu\text{C}=1{,}296\times10^{-3}\\ \text{C}.

Passo 7

Agora parte (b): escrevo a integral tripla na região dada:
Q_{\text{reg}}=\int_{z=-10}^{10}\int_{\varphi=-\pi/2}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{4} 5\,e^{-0{,}1\rho}\,\frac{(\pi-|\varphi|)}{z^{2}+10}\,\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz.
Novamente separo as integrais por dependência separável.

Passo 8

Calcule a integral em \varphi para (b) (limites -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}):
I_{\varphi}^{(b)}=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(\pi-|\varphi|)\,d\varphi =2\int_{0}^{\pi/2}(\pi-\varphi)\,d\varphi.
Calculo a primitiva como antes e avalio:
\int_{0}^{\pi/2}(\pi-\varphi)\,d\varphi=\Big[\pi\varphi-\tfrac{1}{2}\varphi^{2}\Big]_{0}^{\pi/2} =\pi\cdot\frac{\pi}{2}-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{\pi^{2}}{4}=\frac{3\pi^{2}}{8}.
Multiplicando por 2:
I_{\varphi}^{(b)}=\frac{3\pi^{2}}{4}.

Passo 9

Calcule a integral em z para (b) (limites -10 a 10):
I_{z}^{(b)}=\int_{-10}^{10}\frac{1}{z^{2}+10}\,dz.
A primitiva é \frac{1}{\sqrt{10}}\arctan\!\big(\tfrac{z}{\sqrt{10}}\big). Então
I_{z}^{(b)}=\frac{1}{\sqrt{10}}\Big[\arctan\!\big(\tfrac{z}{\sqrt{10}}\big)\Big]_{-10}^{10} =\frac{2}{\sqrt{10}}\arctan\!\big(\sqrt{10}\big).
(Número aproximado: \arctan(\sqrt{10})\approx 1{,}2626273, então I_{z}^{(b)}\approx 0{,}798238.)

Passo 10

Calcule a integral em \rho para (b) (limites 0 a 4):
I_{\rho}^{(b)}=\int_{0}^{4} e^{-0{,}1\rho}\,\rho\,d\rho.
Usando a primitiva do Passo 5 com \alpha=0{,}1:
I_{\rho}^{(b)}=\Big[-(10\rho+100)e^{-0{,}1\rho}\Big]_{0}^{4} =100-140e^{-0{,}4}.
Valor numérico: e^{-0{,}4}\approx0{,}6703200 então I_{\rho}^{(b)}\approx 6{,}15519356.

Passo 11

Multiplico os fatores para obter Q_{\text{reg}}:
Q_{\text{reg}}=5\;I_{\rho}^{(b)}\;I_{\varphi}^{(b)}\;I_{z}^{(b)} =5\big(100-140e^{-0{,}4}\big)\cdot\frac{3\pi^{2}}{4}\cdot\frac{2}{\sqrt{10}}\arctan\!\big(\sqrt{10}\big).
Simplificando constantes:
Q_{\text{reg}}=\frac{15\pi^{2}}{2\sqrt{10}}\big(100-140e^{-0{,}4}\big)\arctan\!\big(\sqrt{10}\big).
Valor numérico aproximado:
Q_{\text{reg}}\approx 181{,}85\\ \mu\text{C}=1{,}8185\times10^{-4}\\ \text{C}.

Resposta

(a) \displaystyle Q=\frac{500\pi^{3}}{\sqrt{10}}\Big(1-\frac{2}{e}\Big)\\ \mu\text{C}\approx 1{,}296{,}08\\ \mu\text{C}=1{,}296\times10^{-3}\\ \text{C}.\n
(b) \displaystyle Q_{\text{reg}}=\frac{15\pi^{2}}{2\sqrt{10}}\big(100-140e^{-0{,}4}\big)\arctan\!\big(\sqrt{10}\big)\\ \mu\text{C}\approx 181{,}85\\ \mu\text{C}=1{,}8185\times10^{-4}\\ \text{C}.

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