Uma corda média de nota Dó natural em um piano possui frequência fundamental de 262 Hz , e a nota Lá natural possui frequência fundamental de 440 Hz .
(a) Calcule as frequências dos dois harmônicos seguintes da corda de nota Dó.
(b) Se as cordas para as notas Lá e Dó têm a mesma densidade linear de massa \mu e comprimento L , determine a proporção das tensões \mathrm{F}_{\mathrm{T}, \mathrm{La}} / \mathrm{F}_{\mathrm{T}, \mathrm{D}} nas duas cordas.
(R: (a) \left.\mathrm{f}_{2}=524 \mathrm{~Hz} ; \mathrm{f}_{3}=786 \mathrm{~Hz}(\mathrm{~b}) 2,82\right).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Informação: a corda que produz a nota Dó tem frequência fundamental \,262\\ \mathrm{Hz}.
  • Informação: a corda que produz a nota Lá tem frequência fundamental \,440\\ \mathrm{Hz}.
  • Informação: as duas cordas têm a mesma densidade linear de massa \,\mu e o mesmo comprimento L.
  • Pergunta (a): calcular as frequências dos dois harmônicos seguintes da corda de Dó (ou seja, os harmônicos 2 e 3).
  • Pergunta (b): calcular a razão das tensões \mathrm{F}_{T,\mathrm{La}}/\mathrm{F}_{T,\mathrm{D}} nas cordas de Lá e Dó.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • O que é um harmônico?
    Em uma corda presa nas duas extremidades, os modos estacionários admitem comprimentos de onda que são divisores inteiros do comprimento da corda. O modo fundamental (primeiro harmônico) tem frequência \,f_1. O n-ésimo harmônico tem frequência
    f_n = n\,f_1,
    onde n é um inteiro positivo. Isso significa que os harmônicos são múltiplos inteiros da frequência fundamental. Exemplo simples: se f_1=100\\ \mathrm{Hz}, então f_2=200\\ \mathrm{Hz}, f_3=300\\ \mathrm{Hz}, etc.
  • Relação entre velocidade de onda, tensão e densidade linear:
    A velocidade de propagação das ondas transversais numa corda é dada por
    v = \sqrt{\frac{F_T}{\mu}},
    onde v é a velocidade, F_T é a tensão na corda e \mu é a densidade linear de massa (massa por unidade de comprimento). Aqui eu explico cada símbolo:
    • \,v: velocidade de propagação da onda na corda (m/s).
    • \,F_T: tensão da corda (N).
    • \,\mu: densidade linear de massa (kg/m).
  • Relação entre frequência fundamental, velocidade e comprimento:
    O comprimento de onda do modo fundamental numa corda fixa nas duas extremidades é \lambda_1 = 2L. Como frequência e velocidade se relacionam por v = \lambda f, para o modo fundamental obtemos
    f_1 = \frac{v}{2L} = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{F_T}{\mu}}.
    Novamente, explicando: \,L é o comprimento da corda; \,f_1 depende de F_T, \mu e L.
  • Como extrair a tensão a partir da frequência: isolamos F_T na expressão de f_1:
    f_1 = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{F_T}{\mu}} \quad\Longrightarrow\quad F_T = (2L f_1)^2 \,\mu.
    Portanto, se duas cordas têm o mesmo L e \mu, a razão entre suas tensões é o quadrado da razão entre suas frequências fundamentais:
    \frac{F_{T,1}}{F_{T,2}} = \left(\frac{f_{1}}{f_{2}}\right)^2.
    Isso será usado no item (b).

Passo 3

Resolvendo (a) — harmônicos da corda de Dó.
  • A frequência fundamental da corda de Dó é \,f_1 = 262\\ \mathrm{Hz}.
  • Usando f_n = n f_1: f_2 = 2 f_1 = 2 \times 262\\ \mathrm{Hz} = 524\\ \mathrm{Hz},
f_3 = 3 f_1 = 3 \times 262\\ \mathrm{Hz} = 786\\ \mathrm{Hz}.
Então os dois harmônicos seguintes (2º e 3º) são \,524\\ \mathrm{Hz} e \,786\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Resolvendo (b) — razão das tensões \mathrm{F}_{T,\mathrm{La}}/\mathrm{F}_{T,\mathrm{D}}.
  • Partimos da relação já isolada para a tensão em função da frequência fundamental:
    F_T = (2L f_1)^2 \mu.
  • Para as duas cordas (Lá e Dó), com o mesmo L e \mu, a razão das tensões é
    \frac{\mathrm{F}_{T,\mathrm{La}}}{\mathrm{F}_{T,\mathrm{D}}} = \frac{(2L f_{\mathrm{La}})^2 \mu}{(2L f_{\mathrm{D}})^2 \mu} = \left(\frac{f_{\mathrm{La}}}{f_{\mathrm{D}}}\right)^2.
    Observe que 2L e \mu cancelaram porque são iguais para as duas cordas — por isso só precisamos das frequências.
  • Substituindo os valores numéricos \,f_{\mathrm{La}}=440\\ \mathrm{Hz} e \,f_{\mathrm{D}}=262\\ \mathrm{Hz}:
    \frac{\mathrm{F}_{T,\mathrm{La}}}{\mathrm{F}_{T,\mathrm{D}}} = \left(\frac{440}{262}\right)^2.
    Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 2:
    \frac{440}{262}=\frac{220}{131}\approx 1{,}67939.
    Elevando ao quadrado:
    (1{,}67939)^2 \approx 2{,}82.
    Portanto a razão das tensões é aproximadamente \,2{,}82.

Passo 5

Dica prática para a prova (rápida e amigável):
  • Para harmônicos, ponha na cabeça: o n-ésimo é simplesmente n vezes o fundamental. Faz rápido, sem drama.
  • Para comparar tensões entre cordas de mesma L e \mu, não precisa calcular nenhuma tensão separada: basta elevar ao quadrado a razão das frequências. Isso economiza tempo na prova. Você está indo bem — respira fundo e aplica essas fórmulas passo a passo.

Resposta

(a) \mathrm{f}_{2}=524\\ \mathrm{Hz};\\ \mathrm{f}_{3}=786\\ \mathrm{Hz}
(b) \displaystyle \frac{\mathrm{F}_{T,\mathrm{La}}}{\mathrm{F}_{T,\mathrm{D}}}=2{,}82

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