Uma corda média de nota Dó natural em um piano possui frequência fundamental de 262 Hz , e a nota Lá natural possui frequência fundamental de 440 Hz .
(a) Calcule as frequências dos dois harmônicos seguintes da corda de nota Dó.
(b) Se as cordas para as notas Lá e Dó têm a mesma densidade linear de massa
e comprimento L , determine a proporção das tensões
nas duas cordas.
(R: (a)
.
(a) Calcule as frequências dos dois harmônicos seguintes da corda de nota Dó.
(b) Se as cordas para as notas Lá e Dó têm a mesma densidade linear de massa
(R: (a)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Informação: a corda que produz a nota Dó tem frequência fundamental
. - Informação: a corda que produz a nota Lá tem frequência fundamental
. - Informação: as duas cordas têm a mesma densidade linear de massa
e o mesmo comprimento . - Pergunta (a): calcular as frequências dos dois harmônicos seguintes da corda de Dó (ou seja, os harmônicos 2 e 3).
- Pergunta (b): calcular a razão das tensões
nas cordas de Lá e Dó.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
-
O que é um harmônico?
Em uma corda presa nas duas extremidades, os modos estacionários admitem comprimentos de onda que são divisores inteiros do comprimento da corda. O modo fundamental (primeiro harmônico) tem frequência. O -ésimo harmônico tem frequência ondeé um inteiro positivo. Isso significa que os harmônicos são múltiplos inteiros da frequência fundamental. Exemplo simples: se , então , , etc. -
Relação entre velocidade de onda, tensão e densidade linear:
A velocidade de propagação das ondas transversais numa corda é dada porondeé a velocidade, é a tensão na corda e é a densidade linear de massa (massa por unidade de comprimento). Aqui eu explico cada símbolo: -
: velocidade de propagação da onda na corda (m/s). -
: tensão da corda (N). -
: densidade linear de massa (kg/m).
-
-
Relação entre frequência fundamental, velocidade e comprimento:
O comprimento de onda do modo fundamental numa corda fixa nas duas extremidades é. Como frequência e velocidade se relacionam por , para o modo fundamental obtemos Novamente, explicando:é o comprimento da corda; depende de , e . -
Como extrair a tensão a partir da frequência: isolamos
na expressão de : Portanto, se duas cordas têm o mesmoe , a razão entre suas tensões é o quadrado da razão entre suas frequências fundamentais: Isso será usado no item (b).
Passo 3
Resolvendo (a) — harmônicos da corda de Dó.
- A frequência fundamental da corda de Dó é
. - Usando
:
Então os dois harmônicos seguintes (2º e 3º) são
e
.
Passo 4
Resolvendo (b) — razão das tensões
.
-
Partimos da relação já isolada para a tensão em função da frequência fundamental:
-
Para as duas cordas (Lá e Dó), com o mesmo
e , a razão das tensões é Observe quee cancelaram porque são iguais para as duas cordas — por isso só precisamos das frequências. -
Substituindo os valores numéricos
e : Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 2:Elevando ao quadrado:Portanto a razão das tensões é aproximadamente.
Passo 5
Dica prática para a prova (rápida e amigável):
- Para harmônicos, ponha na cabeça: o
-ésimo é simplesmente vezes o fundamental. Faz rápido, sem drama. - Para comparar tensões entre cordas de mesma
e , não precisa calcular nenhuma tensão separada: basta elevar ao quadrado a razão das frequências. Isso economiza tempo na prova. Você está indo bem — respira fundo e aplica essas fórmulas passo a passo.
Resposta
(a)
(b)
(b)