Exercício 7.4 - Determine o momento de inércia de área em relação ao eixo x. [Resposta: I_{x}=\frac{a b^{3}}{15} ]
Passo 1
O enunciado que você passou é: “Exercício 7.4 - Determine o momento de inércia de área em relação ao eixo x.” Foi fornecida a resposta esperada \displaystyle I_{x}=\frac{a b^{3}}{15}.
Informações explícitas que aparecem no enunciado que você enviou: \;1.) Pede-se o momento de inércia de área em relação ao eixo x. \;2.) Há parâmetros a e b mencionados na resposta final, mas o enunciado não descreve a forma da região (por exemplo: triângulo, retângulo, parábola, trapezóide, etc.) nem a localização do eixo x (se é base, se é eixo passando pelo centroide, se é o eixo abaixo ou acima da área).
Observação importante: sem a descrição geométrica da região (ou sem a figura que provavelmente acompanha o exercício), não há como montar a integral correta nem justificar a expressão numérica \displaystyle \frac{a b^{3}}{15}. Portanto, a figura/descrição da área é necessária para resolver o problema de forma correta.
Passo 2
O que normalmente precisamos para calcular um momento de inércia de área em relação a um eixo x: \;1.) A equação das fronteiras da região ou uma figura que mostre claramente os limites em x e y. \;2.) A posição do eixo x em relação à região (por exemplo: eixo na base da figura, eixo passando pelo centroide, eixo exterior).
Sem essas duas informações não podemos escrever a integral de definição. Estou apontando isso porque é o dado físico-matemático mínimo para montar a solução.
Passo 3
Princípio e fórmula básica — o que é o momento de inércia de área e como montamos a integral (aula curta e prática):
O momento de inércia de área em relação ao eixo x é definido por
I_x=\iint_{A} y^{2}\,dA,
onde A é a região do plano ocupada pela área, y é a coordenada vertical medida a partir do eixo x e dA é um elemento de área. Explicando as partes: \;1.) y^{2} pesa cada pedaço de área pela sua distância ao quadrado até o eixo x. \;2.) dA pode ser tomado como uma tira vertical dA = y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x) multiplicada por dx, ou como uma tira horizontal dA = x_{\text{right}}(y)-x_{\text{left}}(y) multiplicada por dy, dependendo de qual é mais simples.
Dois modos usuais de montar a integral:
Essas são as duas ferramentas básicas. Em uma prova, escolha a que dá uma expressão mais simples para a função limite.
Passo 4
Exemplo didático (modelo de aplicação completa) — retângulo para fixar o método:
Considere um retângulo de largura \;a\; (em x) e altura \;b\; (em y), com a base apoiada no eixo x em y=0 e o topo em y=b. Vamos calcular I_x para esse caso (passo a passo) para mostrar como aplicar a fórmula. \;1.) Para cada x fixo a tira vertical tem y_{\text{bot}}=0 e y_{\text{top}}=b. Então, usando tiras verticais:
Observação: esse resultado é para o eixo x coincidente com a base do retângulo (ou seja, eixo na borda). Se quisermos o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro do retângulo (centroide), usamos o teorema dos eixos paralelos para deslocar: o momento em relação ao eixo central seria \displaystyle \frac{a b^{3}}{12}. Eu mostrei esse exemplo para que você veja claramente como a escolha de integração e a posição do eixo afetam o valor.
Passo 5
Por que, com base apenas do que você me enviou, não posso reproduzir \displaystyle I_{x}=\frac{a b^{3}}{15}: \;1.) A expressão \displaystyle \frac{a b^{3}}{15} tem dependência linear em a e cúbica em b. Isso sugere que, na integral, a variável que aparece com potência 2 na integranda (o y^2) foi integrada de modo a produzir um fator em b^{3}, e a extensão perpendicular contribuiu apenas linearmente em a. Mas isso não identifica unicamente que forma geométrica foi usada (há várias formas que podem produzir combinações diferentes de a e b). \;2.) Sem saber se a é largura ou altura, se b é largura ou altura, qual é a equação da borda (reta, parábola, etc.) e onde está precisamente o eixo x, qualquer integral que eu monte seria um chute e poderia não corresponder ao enunciado original. Não invento a figura porque isso pode levar a erro e a uma justificativa inválida na prova.
Passo 6
O que eu faria na prova (guia prático, para quando a figura estiver à sua frente): \;1.) Identifique claramente as curvas que limitam a região e a posição do eixo x. Marque y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bot}}(x) ou x_{\text{right}}(y) e x_{\text{left}}(y). \;2.) Escolha entre integrar em x ou em y pela simplicidade das expressões. Se as alturas são funções simples de x, use tiras verticais; se as larguras são funções simples de y, use tiras horizontais. \;3.) Escreva a integral usando a fórmula
I_x=\int y^{2}\,dA
na forma apropriada e calcule com cuidado (primeiro a integral interna em y, depois a externa em x, ou vice-versa). \;4.) Se for necessário deslocar o eixo (p.ex. do centroide para a borda), use o teorema dos eixos paralelos:
onde A é a área e d é a distância entre eixos. Eu usaria essa ferramenta se o ciclo de integração ficar mais simples encontrando I_x em torno do centroide primeiro.
Passo 7
Resumo prático e incentivo:
Você me mandou apenas a frase do enunciado e a resposta numérica esperada. Não inventarei a figura por você — para fornecer a resolução passo a passo (como você pediu), preciso da figura ou da descrição completa da região (por exemplo: “triângulo de base b e altura a com vértice em …”, ou "região limitada pela curva y=f(x) entre x=\alpha e x=\beta"). Se você colar a figura ou descrever exatamente a região e a posição do eixo x, eu preparo a resolução detalhada em vários passos, explicando cada fórmula e fazendo todas as contas com calma — prometo te deixar confiante para a prova!
Resposta
Não é possível determinar \;I_x\; porque a figura ou descrição da região (e a posição do eixo x) não foram fornecidas.