Um bloco cúbico de
de lado, de peso 1200 N , é puxado para cima num plano inclinado lubrificado com óleo de viscosidade cinemática
. Se a velocidade do bloco é de
, o plano é inclinado a
em relação à horizontal e a força necessária para puxar o bloco é de 645 N , calcular a espessura
do filme de lubrificante entre o bloco e o plano inclinado.
Dados adicionais:
Dados adicionais:
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a espessura do filme lubrificante
:
Informação geométrica importante que usaremos: a área de contato entre o bloco e o plano inclinado é a face do cubo,
O objetivo é encontrar
, a espessura do filme de óleo entre o bloco e o plano, usando o equilíbrio de forças ao longo do plano e a resistência viscosa do filme.
Passo 2
Calcular o volume do cubo (vamos precisar para a força de empuxo do óleo):
Explicação curta: volume do cubo é lado ao cubo; aqui o lado é
.
Passo 3
Calcular a força de empuxo (peso do fluido deslocado) usando
:
Comentário didático: o empuxo atua para cima e reduz o peso efetivo do bloco quando ele está imerso ou parcialmente apoiado em fluido — no nosso modelo consideramos esse empuxo vertical.
Passo 4
Calcular o peso efetivo que atua (peso real menos empuxo):
Explicação: essa é a força resultante que ainda será decomposta nas direções paralela e perpendicular ao plano inclinado.
Passo 5
Calcular a componente do peso efetivo ao longo do plano (puxa o bloco para baixo no plano):
Aula rápida: a componente ao longo do plano é
porque
projeta a força peso na direção paralela ao plano.
Passo 6
Converter a viscosidade cinemática
em viscosidade dinâmica
. Primeiro obtenho a densidade do óleo:
Agora a viscosidade dinâmica:
Explicação:
, então
.
tem unidades de Pascal-segundo e aparece na lei de cisalhamento da viscosidade.
Passo 7
Escrever a expressão da tensão de cisalhamento para um escoamento tipo Couette (placas paralelas): a velocidade varia linearmente no filme de espessura
, logo o gradiente de velocidade é
e
A força viscosa total que resiste ao movimento é essa tensão vezes a área de contato
. Calcular
:
Portanto a força viscosa é
Explicação didática: para placas paralelas com velocidade relativa
e distância
, a velocidade varia linearmente e o cisalhamento é
vezes gradiente. Multiplicando pela área temos a força de atrito viscoso.
Passo 8
Fazer o balanço de forças ao longo do plano na condição de movimento uniforme (força de tração igual à soma do componente do peso que puxa para baixo e da resistência viscosa):
Isolando
:
Comentário: esse é o valor da força fornecida pela viscosidade do filme que precisamos igualar com a expressão teórica para encontrar
.
Passo 9
Igualar a expressão teórica de
à força encontrada e resolver para
:
Substituindo os valores (usar vírgula para decimais):
Calcular o numerador:
Logo
Convertendo para unidades mais intuitivas:
.
Breve verificação de unidades:
em
, multiplicado por
e
dá
; dividido por força (N) resulta em metros — coerente.
Passo 10
Interpretação e incentivo: o resultado indica um filme relativamente espesso (
), explicado pela viscosidade dinâmica muito grande (
). Em problemas de lubrificação é sempre útil checar se o modelo de Couette (perfil linear de velocidade) é razoável; aqui, por dados do enunciado, usamos esse modelo simples e ele fornece um valor consistente. Você foi bem até aqui — boa prática é conferir sempre a ordem de grandeza para não ser surpreendido na prova!