Um bloco cúbico de 0,25 \mathrm{~m} de lado, de peso 1200 N , é puxado para cima num plano inclinado lubrificado com óleo de viscosidade cinemática 4 \times 10^{-2} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. Se a velocidade do bloco é de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, o plano é inclinado a \alpha=30^{\circ} em relação à horizontal e a força necessária para puxar o bloco é de 645 N , calcular a espessura \varepsilon do filme de lubrificante entre o bloco e o plano inclinado.
Dados adicionais: g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \gamma_{\text {oleo }}=9000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a espessura do filme lubrificante \varepsilon:
\begin{aligned} &\text{lado do bloco} \;=\; 0,25\\ \mathrm{m},\\\ &\text{peso do bloco} \;=\; 1200\\ \mathrm{N},\\\ &\nu_{\text{óleo}} \;=\; 4\times 10^{-2}\\ \mathrm{m}^2\!\:/\!\mathrm{s}\\ \\ (\text{viscosidade cinemática}),\\\ &V_{\text{bloco}} \;=\; 2\\ \mathrm{m/s}\\ \\ (\text{velocidade de subida}),\\\ &\alpha \;=\; 30^\circ,\quad F_{\text{puxar}} \;=\; 645\\ \mathrm{N},\\\ &g \;=\; 10\\ \mathrm{m/s}^2,\quad \gamma_{\text{óleo}} \;=\; 9000\\ \mathrm{N/m}^3. \end{aligned}á
Informação geométrica importante que usaremos: a área de contato entre o bloco e o plano inclinado é a face do cubo,
A = (0,25)^2.
O objetivo é encontrar \varepsilon, a espessura do filme de óleo entre o bloco e o plano, usando o equilíbrio de forças ao longo do plano e a resistência viscosa do filme.

Passo 2

Calcular o volume do cubo (vamos precisar para a força de empuxo do óleo):
V = (0,25)^3 = 0,015625\\ \mathrm{m}^3.
Explicação curta: volume do cubo é lado ao cubo; aqui o lado é 0,25\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular a força de empuxo (peso do fluido deslocado) usando \;B=\gamma_{\text{óleo}} V:
B = 9000 \times 0,015625 = 140,625\\ \mathrm{N}.
Comentário didático: o empuxo atua para cima e reduz o peso efetivo do bloco quando ele está imerso ou parcialmente apoiado em fluido — no nosso modelo consideramos esse empuxo vertical.

Passo 4

Calcular o peso efetivo que atua (peso real menos empuxo):
W_{\text{ef}} = 1200 - 140,625 = 1059,375\\ \mathrm{N}.
Explicação: essa é a força resultante que ainda será decomposta nas direções paralela e perpendicular ao plano inclinado.

Passo 5

Calcular a componente do peso efetivo ao longo do plano (puxa o bloco para baixo no plano):
W_{\parallel} = W_{\text{ef}} \sin\alpha = 1059,375 \times \sin 30^\circ = 1059,375 \times 0,5 = 529,6875\\ \mathrm{N}.
Aula rápida: a componente ao longo do plano é W_{\text{ef}}\sin\alpha porque \sin\alpha projeta a força peso na direção paralela ao plano.

Passo 6

Converter a viscosidade cinemática \nu em viscosidade dinâmica \mu. Primeiro obtenho a densidade do óleo:
\rho = \frac{\gamma_{\text{óleo}}}{g} = \frac{9000}{10} = 900\\ \mathrm{kg/m}^3.
Agora a viscosidade dinâmica:
\mu = \rho\,\nu = 900 \times 4\times 10^{-2} = 36\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Explicação: \nu=\mu/\rho, então \mu=\rho\nu. \mu tem unidades de Pascal-segundo e aparece na lei de cisalhamento da viscosidade.

Passo 7

Escrever a expressão da tensão de cisalhamento para um escoamento tipo Couette (placas paralelas): a velocidade varia linearmente no filme de espessura \varepsilon, logo o gradiente de velocidade é V/\varepsilon e
\tau = \mu\frac{V}{\varepsilon}.
A força viscosa total que resiste ao movimento é essa tensão vezes a área de contato A. Calcular A:
A = (0,25)^2 = 0,0625\\ \mathrm{m}^2.
Portanto a força viscosa é
F_{\text{visc}} = \tau A = \mu\frac{V}{\varepsilon}A.
Explicação didática: para placas paralelas com velocidade relativa V e distância \varepsilon, a velocidade varia linearmente e o cisalhamento é \mu vezes gradiente. Multiplicando pela área temos a força de atrito viscoso.

Passo 8

Fazer o balanço de forças ao longo do plano na condição de movimento uniforme (força de tração igual à soma do componente do peso que puxa para baixo e da resistência viscosa):
F_{\text{puxar}} = W_{\parallel} + F_{\text{visc}}.
Isolando F_{\text{visc}}:
F_{\text{visc}} = F_{\text{puxar}} - W_{\parallel} = 645 - 529,6875 = 115,3125\\ \mathrm{N}.
Comentário: esse é o valor da força fornecida pela viscosidade do filme que precisamos igualar com a expressão teórica para encontrar \varepsilon.

Passo 9

Igualar a expressão teórica de F_{\text{visc}} à força encontrada e resolver para \varepsilon:
F_{\text{visc}} = \mu\frac{V}{\varepsilon}A \quad\Rightarrow\quad \varepsilon = \frac{\mu V A}{F_{\text{visc}}}.
Substituindo os valores (usar vírgula para decimais):
\varepsilon = \frac{36 \times 2 \times 0,0625}{115,3125}.
Calcular o numerador:
36 \times 2 \times 0,0625 = 4,5.
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\varepsilon = \frac{4,5}{115,3125} \approx 0,0390\\ \mathrm{m}.
Convertendo para unidades mais intuitivas: 0,0390\\ \mathrm{m} = 39\\ \mathrm{mm}.
Breve verificação de unidades: \mu em \mathrm{Pa\cdot s} = \mathrm{N\cdot s/m}^2, multiplicado por V e A \mathrm{N\cdot m}; dividido por força (N) resulta em metros — coerente.

Passo 10

Interpretação e incentivo: o resultado indica um filme relativamente espesso ( \sim 4\\ \mathrm{cm}), explicado pela viscosidade dinâmica muito grande ( 36\\ \mathrm{Pa\cdot s}). Em problemas de lubrificação é sempre útil checar se o modelo de Couette (perfil linear de velocidade) é razoável; aqui, por dados do enunciado, usamos esse modelo simples e ele fornece um valor consistente. Você foi bem até aqui — boa prática é conferir sempre a ordem de grandeza para não ser surpreendido na prova!

Resposta

\varepsilon = 0,0390\\ \mathrm{m} = 39\\ \mathrm{mm}

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