2.2.14 Sejam k um natural fixado e
a sequência definida por
com exatamente
raízes quadradas.
Calcule a derivada de
Calcule a derivada de
Passo 1
O enunciado nos dá duas coisas (vou separar claramente o que parece ser pedido):
- Uma sequência
definida por com exatamente raízes quadradas, onde é um natural fixado. A pergunta implícita mais comum para esse tipo de definição é: determinar o limite (ou seja, encontrar o valor para o qual a sequência converge, se convergir). - Calcular a derivada da função
.
Informações relevantes fornecidas:
-
é um natural fixado (assumir é a convenção mais comum; tratarei à parte o caso ). - A sequência é construída por iteração da função
: e . - A função cuja derivada se pede é
.
Passo 2
Entender a estrutura da sequência e preparar o método.
Observação útil: como , podemos ver a sequência como iteração da função
. Para estudar convergência de
é natural tentar:
Observação útil: como
- mostrar que
é monótona (por exemplo, crescente), e - mostrar que
é limitada superiormente por algum número.
Se conseguirmos ambos, pela propriedade “sequência monótona e limitada converge”, teremos convergência; então, passando ao limite na relaçãoobtemos uma equação para o limite.
Vou então seguir esse plano: mostrar crescimento, mostrar limite superior candidato, e resolver a equação do ponto fixo para obter o valor limite.
Passo 3
Mostrar que a sequência é estritamente crescente (para
).
Base: e
. Como
, temos claramente
, logo
.
Base:
Passo indutivo: suponha que
para algum
. A função
é crescente em
porque a raiz quadrada é crescente e
cresce com
. Então
Portanto, por indução,
para todo
. Conclusão:
é estritamente crescente.
Passo 4
Encontrar um candidato a cota superior e provar que
é limitada por ele.
Se a sequência converge para algum , passando ao limite na relação
deveríamos ter
Se a sequência converge para algum
Isso implica
As raízes dessa equação quadrática são
Como
para
, a raiz com sinal menos é negativa, e a raiz com sinal mais é positiva. Denotemos
Vamos mostrar que
para todo
(e assim
é uma cota superior).
Primeiro note que, usando
, temos
portanto
.
Agora faça indução: suponha
. Então
porque
é crescente. Assim
. Como
, por indução
para todo
. Conclusão:
é limitada superiormente por
.
Passo 5
Concluir convergência e determinar o limite.
Já vimos que é crescente e limitada superiormente por
. Pelo teorema da convergência de sequências monótonas,
converge; seja
. Passando ao limite na relação de recorrência obtemos
Já vimos que
Como
(todos os
são não-negativos) e a única solução não-negativa da quadrática
é
, segue que
Observação sobre o caso
: se
então
e por recorrência
para todo
, logo
. A fórmula geral também fornece as raízes
e
para a equação
, mas a iteração a partir de
fica constantemente
. Para a convenção usual
com
, a resposta é
como acima.
Passo 6
Passo para a segunda parte: simplificar
antes de derivar.
A função é
A função é
Reescrever
como potência ajuda muito:
, logo
Isso deixa a derivação direta pelo “regra do poder” (power rule).
Passo 7
Aplicar a regra do poder e a linearidade da derivada.
Regra do poder: para qualquer expoente real , a derivada de
(para
, e em muitos casos também em
dependendo do
) é
Regra do poder: para qualquer expoente real
Também usamos que a derivada da soma é a soma das derivadas. Aplicando a regra ao nosso
:
Simplificando o expoente
, obtemos
Passo 8
Observações sobre domínio e diferenciabilidade em
.
- A expressão
(raiz cúbica) está definida para todo . - A função
é diferenciável em todo ; em particular em a derivada existe e vale . A fórmula obtida é válida para todo , e em dá .
Passo 9
Pequeno check numérico (sanity check) e incentivo.
- Se
, então a fórmula do limite dá , que é a famosa razão áurea; isso é um bom sinal de consistência. - Para a derivada, por exemplo em
: então , o que bate com calcular a partir da definição.
Força aí — você já tem a técnica para resolver limites de radicais aninhados (procure sempre o ponto fixo) e a derivação ficou direta ao reescrever em potências.