2.2.14 Sejam k um natural fixado e \left(a_{n}\\\right)\ a sequência definida por a_{n}=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k+\\\\ldots \sqrt{k}}}} com exatamente n raízes quadradas.
Calcule a derivada de f(x)=x \sqrt[3]{x}+x^{4}

Passo 1

O enunciado nos dá duas coisas (vou separar claramente o que parece ser pedido):
  • Uma sequência \left(a_{n}\right) definida por a_{n}=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k+\cdots \sqrt{k}}}} com exatamente n raízes quadradas, onde k é um natural fixado. A pergunta implícita mais comum para esse tipo de definição é: determinar o limite \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n (ou seja, encontrar o valor para o qual a sequência converge, se convergir).
  • Calcular a derivada da função f(x)=x\sqrt[3]{x}+x^{4}.
Informações relevantes fornecidas:
  • k é um natural fixado (assumir k\ge 1 é a convenção mais comum; tratarei à parte o caso k=0).
  • A sequência é construída por iteração da função g(x)=\sqrt{k+x}: a_{1}=\sqrt{k} e a_{n+1}=g(a_n)=\sqrt{k+a_n}.
  • A função cuja derivada se pede é f(x)=x\sqrt[3]{x}+x^{4}.

Passo 2

Entender a estrutura da sequência e preparar o método.
Observação útil: como a_{n+1}=\sqrt{k+a_n}, podemos ver a sequência como iteração da função g(x)=\sqrt{k+x}. Para estudar convergência de (a_n) é natural tentar:
  1. mostrar que (a_n) é monótona (por exemplo, crescente), e
  2. mostrar que (a_n) é limitada superiormente por algum número.
    Se conseguirmos ambos, pela propriedade “sequência monótona e limitada converge”, teremos convergência; então, passando ao limite na relação a_{n+1}=\sqrt{k+a_n} obtemos uma equação para o limite.
Vou então seguir esse plano: mostrar crescimento, mostrar limite superior candidato, e resolver a equação do ponto fixo para obter o valor limite.

Passo 3

Mostrar que a sequência é estritamente crescente (para k\ge 1).
Base: \displaystyle a_{1}=\sqrt{k} e \displaystyle a_{2}=\sqrt{k+\sqrt{k}}. Como \sqrt{k}>0, temos claramente \sqrt{k+\sqrt{k}}>\sqrt{k}, logo a_{2}>a_{1}.
Passo indutivo: suponha que a_{n}>a_{n-1} para algum n\ge 2. A função g(x)=\sqrt{k+x} é crescente em x porque a raiz quadrada é crescente e k+x cresce com x. Então
a_{n+1}=g(a_n)=\sqrt{k+a_n}>\sqrt{k+a_{n-1}}=g(a_{n-1})=a_n.
Portanto, por indução, a_{n+1}>a_n para todo n. Conclusão: \left(a_n\right) é estritamente crescente.

Passo 4

Encontrar um candidato a cota superior e provar que \left(a_n\right) é limitada por ele.
Se a sequência converge para algum \ell, passando ao limite na relação a_{n+1}=\sqrt{k+a_n} deveríamos ter
\ell=\sqrt{k+\ell}.
Isso implica
\ell^{2}-\ell-k=0.
As raízes dessa equação quadrática são
\ell=\frac{1\pm\sqrt{1+4k}}{2}.
Como \sqrt{1+4k}>1 para k\ge 1, a raiz com sinal menos é negativa, e a raiz com sinal mais é positiva. Denotemos
L:=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}>0.
Vamos mostrar que a_n<L para todo n (e assim L é uma cota superior).
Primeiro note que, usando L^2=L+k, temos
L^{2}-k=L \quad\Rightarrow\quad L-\sqrt{k}=\frac{L}{L+\sqrt{k}}>0,
portanto a_1=\sqrt{k}<L.
Agora faça indução: suponha a_n<L. Então
a_{n+1}=\sqrt{k+a_n}<\sqrt{k+L}=L,
porque \sqrt{\cdot} é crescente. Assim a_{n+1}<L. Como a_1<L, por indução a_n<L para todo n. Conclusão: \left(a_n\right) é limitada superiormente por L.

Passo 5

Concluir convergência e determinar o limite.
Já vimos que \left(a_n\right) é crescente e limitada superiormente por L. Pelo teorema da convergência de sequências monótonas, \left(a_n\right) converge; seja \ell=\lim_{n\to\infty} a_n. Passando ao limite na relação de recorrência obtemos
\ell=\sqrt{k+\ell}.
Como \ell\ge 0 (todos os a_n são não-negativos) e a única solução não-negativa da quadrática \ell^2-\ell-k=0 é L=\dfrac{1+\sqrt{1+4k}}{2}, segue que
\lim_{n\to\infty} a_n = L = \frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}.
Observação sobre o caso k=0: se k=0 então a_1=\sqrt{0}=0 e por recorrência a_n=0 para todo n, logo \lim_{n\to\infty} a_n=0. A fórmula geral também fornece as raízes 0 e 1 para a equação \ell=\sqrt{\ell}, mas a iteração a partir de a_1=0 fica constantemente 0. Para a convenção usual k\in\mathbb{N} com k\ge 1, a resposta é L como acima.

Passo 6

Passo para a segunda parte: simplificar f(x) antes de derivar.
A função é
f(x)=x\sqrt[3]{x}+x^{4}.
Reescrever x\sqrt[3]{x} como potência ajuda muito: \sqrt[3]{x}=x^{1/3}, logo
f(x)=x\cdot x^{1/3}+x^{4}=x^{1+1/3}+x^{4}=x^{4/3}+x^{4}.
Isso deixa a derivação direta pelo “regra do poder” (power rule).

Passo 7

Aplicar a regra do poder e a linearidade da derivada.
Regra do poder: para qualquer expoente real r, a derivada de x^{r} (para x\neq 0, e em muitos casos também em x=0 dependendo do r) é
\frac{d}{dx}x^{r}=r x^{r-1}.
Também usamos que a derivada da soma é a soma das derivadas. Aplicando a regra ao nosso f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4/3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr) = \frac{4}{3}x^{4/3-1}+4x^{3}.
Simplificando o expoente 4/3-1=1/3, obtemos
f'(x)=\frac{4}{3}x^{1/3}+4x^{3}.

Passo 8

Observações sobre domínio e diferenciabilidade em x=0.
  • A expressão x^{1/3} (raiz cúbica) está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • A função x^{4/3} é diferenciável em todo \mathbb{R}; em particular em x=0 a derivada existe e vale \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{(h)^{4/3}}{h}=\lim_{h\to 0}h^{1/3}=0. A fórmula obtida f'(x)=\dfrac{4}{3}x^{1/3}+4x^{3} é válida para todo x\in\mathbb{R}, e em x=0 f'(0)=0.

Passo 9

Pequeno check numérico (sanity check) e incentivo.
  • Se k=1, então a fórmula do limite dá L=(1+\sqrt{5})/2, que é a famosa razão áurea; isso é um bom sinal de consistência.
  • Para a derivada, por exemplo em x=8: x^{1/3}=2 então f'(8)=\dfrac{4}{3}\cdot 2 + 4\cdot 8^{3}=\dfrac{8}{3}+4\cdot 512=\dfrac{8}{3}+2048, o que bate com calcular a partir da definição.
Força aí — você já tem a técnica para resolver limites de radicais aninhados (procure sempre o ponto fixo) e a derivação ficou direta ao reescrever em potências.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2} (para k\ge 1; no caso k=0 o limite é 0).
\displaystyle f'(x)=\frac{4}{3}x^{1/3}+4x^{3}

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