2.2.14 Sejam k um natural fixado e
a sequência definida por
com exatamente
raízes quadradas.
Calcule a derivada de
Calcule a derivada de
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada de
.
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é
. - A raiz quadrada impõe naturalmente domínio
(ou para a função, mas a derivada em precisa cuidado); no processo abaixo trabalharemos para . - O objetivo é achar
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Reescrever a função numa forma conveniente para derivar usando potências:
Explicando:
. Isso facilita usar a regra de potência.
Passo 3
Lembrando as regras que vamos usar (mini-aula):
- Regra do produto: se
e são funções, então
Isto significa que a derivada do produto é a soma do produto da derivada da primeira pela segunda com o produto da primeira pela derivada da segunda.
- Regra da constante: constante multiplicativa sai da derivada:
onde
é constante.
- Regra da potência (para
):
Usaremos essas três ideias juntas: trataremos
como constante e aplicaremos a regra do produto a
e
.
Passo 4
Calcular as derivadas das partes:
- Seja
. Pela regra da potência,
Explicando: multiplicou-se o expoente
por
.
- Seja
. Derivando termo a termo,
Passo 5
Aplicar a regra do produto (lembrando do fator
):
Substituindo
e suas derivadas:
Simplificando o segundo termo dentro dos parênteses:
Portanto
Passo 6
Fazer a simplificação algébrica para deixar numa forma mais compacta. Colocar tudo sobre o mesmo denominador
:
- O primeiro termo já tem denominador
: . - O segundo termo
convertido para denominador :
Somando numeradores e multiplicando pelo
:
Multiplicando o
fica habitual escrever:
Também é possível expandir o numerador:
, então uma forma alternativa é
Passo 7
Observação final e domínio: a expressão final para
está válida para
(onde
e
estão bem definidos). Se for necessário discutir a derivada em
, seria preciso analisar o limite do quociente diferencial separadamente.