2.2.14 Sejam k um natural fixado e \left(a_{n}\\\right)\ a sequência definida por a_{n}=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k+\\\\ldots \sqrt{k}}}} com exatamente n raízes quadradas.
Calcule a derivada de f(x)=7 \sqrt{x}\left(x^{2}+4\right)\

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada de f(x)=7\sqrt{x}\left(x^{2}+4\right).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é f(x)=7\sqrt{x}\left(x^{2}+4\right).
  • A raiz quadrada impõe naturalmente domínio x>0 (ou x\ge0 para a função, mas a derivada em x=0 precisa cuidado); no processo abaixo trabalharemos para x>0.
  • O objetivo é achar f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Reescrever a função numa forma conveniente para derivar usando potências:
f(x)=7\sqrt{x}\left(x^{2}+4\right)=7x^{\tfrac{1}{2}}\left(x^{2}+4\right).
Explicando: \sqrt{x}=x^{1/2}. Isso facilita usar a regra de potência.

Passo 3

Lembrando as regras que vamos usar (mini-aula):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Isto significa que a derivada do produto é a soma do produto da derivada da primeira pela segunda com o produto da primeira pela derivada da segunda.
  • Regra da constante: constante multiplicativa sai da derivada:
\frac{d}{dx}\big(c\cdot w(x)\big)=c\cdot w'(x),
onde c é constante.
  • Regra da potência (para n\in\mathbb{R}):
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Usaremos essas três ideias juntas: trataremos 7 como constante e aplicaremos a regra do produto a x^{1/2} e x^{2}+4.

Passo 4

Calcular as derivadas das partes:
  • Seja g(x)=x^{\tfrac{1}{2}}. Pela regra da potência,
g'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Explicando: multiplicou-se o expoente 1/2 por x^{(1/2)-1}=x^{-1/2}.
  • Seja h(x)=x^{2}+4. Derivando termo a termo,
h'(x)=2x.

Passo 5

Aplicar a regra do produto (lembrando do fator 7):
f'(x)=7\left(g'(x)h(x)+g(x)h'(x)\right).
Substituindo g,h e suas derivadas:
f'(x)=7\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\big(x^{2}+4\big)+x^{\tfrac{1}{2}}\cdot 2x\right).
Simplificando o segundo termo dentro dos parênteses:
x^{\tfrac{1}{2}}\cdot 2x = 2x\sqrt{x}.
Portanto
f'(x)=7\left(\frac{x^{2}+4}{2\sqrt{x}}+2x\sqrt{x}\right).

Passo 6

Fazer a simplificação algébrica para deixar numa forma mais compacta. Colocar tudo sobre o mesmo denominador 2\sqrt{x}:
  • O primeiro termo já tem denominador 2\sqrt{x}: \dfrac{x^{2}+4}{2\sqrt{x}}.
  • O segundo termo 2x\sqrt{x} convertido para denominador 2\sqrt{x}:
2x\sqrt{x}=\frac{2x\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\frac{4x(\sqrt{x})^{2}}{2\sqrt{x}}=\frac{4x\cdot x}{2\sqrt{x}}=\frac{4x^{2}}{2\sqrt{x}}.
Somando numeradores e multiplicando pelo 7:
f'(x)=7\cdot\frac{x^{2}+4+4x^{2}}{2\sqrt{x}}=7\cdot\frac{5x^{2}+4}{2\sqrt{x}}.
Multiplicando o 7 fica habitual escrever:
f'(x)=\frac{7\big(5x^{2}+4\big)}{2\sqrt{x}}.
Também é possível expandir o numerador: 7(5x^{2}+4)=35x^{2}+28, então uma forma alternativa é
f'(x)=\frac{35x^{2}+28}{2\sqrt{x}}.

Passo 7

Observação final e domínio: a expressão final para f'(x) está válida para x>0 (onde \sqrt{x} e 1/\sqrt{x} estão bem definidos). Se for necessário discutir a derivada em x=0, seria preciso analisar o limite do quociente diferencial separadamente.

Resposta

f'(x)=\frac{7\big(5x^{2}+4\big)}{2\sqrt{x}}=\frac{35x^{2}+28}{2\sqrt{x}}

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