2.2.14 Sejam k um natural fixado e
a sequência definida por
com exatamente
raízes quadradas.
Calcule a derivada de
Calcule a derivada de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para calcular a derivada
. Informação importante sobre o domínio: como há divisões por
, a função (e portanto sua derivada) só faz sentido para
.
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (rapidamente e na prática):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja,
. - Regra do fator constante: constantes saem da derivada:
. - Regra da potência (a mais útil aqui): para qualquer número real
,
Essa última vale mesmo para expoentes negativos (como
,
) desde que
.
Passo 3
É conveniente reescrever cada termo usando potências para aplicar direto a regra da potência:
logo
Passo 4
Agora derivamos termo a termo usando a regra da potência:
- Para
, aplicando com ,
- Para
, com ,
Somando as duas derivadas (regra da soma),
Passo 5
Vamos simplificar a expressão para uma forma de fração única. Escrevendo em potências negativas como frações:
Colocando sobre o mesmo denominador
:
Lembre-se: esta fórmula vale para
.