2.2.14 Sejam k um natural fixado e \left(a_{n}\\\right)\ a sequência definida por a_{n}=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k+\\\\ldots \sqrt{k}}}} com exatamente n raízes quadradas.
Calcule a derivada de f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}
e pede para calcular a derivada f'(x). Informação importante sobre o domínio: como há divisões por x, a função (e portanto sua derivada) só faz sentido para x\neq0.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (rapidamente e na prática):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, \dfrac{d}{dx}\big(g(x)+h(x)\big)=g'(x)+h'(x).
  • Regra do fator constante: constantes saem da derivada: \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x).
  • Regra da potência (a mais útil aqui): para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Essa última vale mesmo para expoentes negativos (como -1, -2) desde que x\neq0.

Passo 3

É conveniente reescrever cada termo usando potências para aplicar direto a regra da potência:
\frac{1}{x}=x^{-1},\qquad \frac{1}{x^{2}}=x^{-2},
logo
f(x)=x^{-1}+x^{-2}.

Passo 4

Agora derivamos termo a termo usando a regra da potência:
  • Para x^{-1}, aplicando \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} com n=-1,
\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big) = -1\cdot x^{-2} = -x^{-2}.
  • Para x^{-2}, com n=-2,
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}\big) = -2\cdot x^{-3} = -2x^{-3}.
Somando as duas derivadas (regra da soma),
f'(x) = -x^{-2} - 2x^{-3}.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para uma forma de fração única. Escrevendo em potências negativas como frações:
f'(x) = -\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}.
Colocando sobre o mesmo denominador x^{3}:
f'(x) = -\frac{x}{x^{3}} - \frac{2}{x^{3}} = -\frac{x+2}{x^{3}}.
Lembre-se: esta fórmula vale para x\neq0.

Resposta

f'(x)=-\frac{x+2}{x^{3}}

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