14 Um sistema de agitação é utilizado para promover a homogeneização de uma mistura com massa específica igual a
e viscosidade dinâmica de
). Para garantir condições adequadas de mistura, a velocidade periférica do agitador deve ser mantida constante durante a ampliação de escala.
No sistema em escala de laboratório, têm-se as seguintes características:
- tanque com quatro defletores;
- agitador do tipo turbina com quatro pás retas;
- volume do tanque: 40 L ;
- velocidade de rotação: 500 rpm ;
- configurações geométricas padrão;
- potência consumida: 24 W .
Deseja-se realizar a ampliação de escala para um tanque com volume de 200 L , mantendo condições de agitação similares às do sistema de laboratório.
Determine a potência consumida no tanque ampliado.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (todos os números e símbolos estão reproduzidos exatamente do enunciado):
- Massa específica do fluido:
. - Viscosidade dinâmica:
. - Tanque laboratório:
- volume:
(ou seja ); - agitador: turbina com quatro pás retas, tanque com quatro defletores (configuração geométrica padrão);
- velocidade de rotação:
; - potência consumida:
.
- volume:
- Tanque ampliado:
- volume:
(ou seja ); - manter condições de agitação similares, com a velocidade periférica (velocidade tangencial na borda do agitador) constante.
- volume:
- O que se pede: determinar a potência consumida no tanque ampliado, isto é
.
Passo 2
Conceitos e fórmulas fundamentais que vamos usar (explicados passo a passo):
- Potência de agitação e número de potência:
Aqui:
-
é a potência absorvida (W); -
é o número de potência (adimensional), que depende da geometria do agitador/tanque e do regime de escoamento (Reynolds); -
é a massa específica do fluido ( ); -
é a velocidade de rotação em (revoluções por segundo); -
é o diâmetro do agitador (m).
Explicação curta: essa fórmula é a forma dimensional que relaciona potência com escala geométrica e velocidade de rotação. O fator
incorpora detalhes da geometria e do regime de fluxo (em regime turbulento
é aproximadamente constante para geometrias semelhantes).
- Velocidade periférica (tip speed) do agitador:
Aqui
é a velocidade linear na periferia da pá (m/s). A condição do enunciado é manter
constante entre escalas.
- Geometria semelhante (ampliação mantendo formas iguais): todos os comprimentos lineares escalam por um fator
onde
representa qualquer dimensão linear (tanque, diâmetro do agitador, etc.). Assim
- Derivação do fator de escala da potência quando
é constante e as geometrias são semelhantes:
Partimos de
. Como
é constante,
Substituindo em
:
Para o mesmo fluido (
e
constantes) obtemos a lei de escala simples:
Portanto, para duas escalas geometricamente semelhantes:
Comentário didático: isso significa que, mantendo a velocidade periférica (borda) constante, a potência cresce como a área característica do agitador (proporcional a
). É uma escala intuitiva: manter a mesma velocidade tangencial faz com que o esforço por área seja semelhante, e a potência total aumente com a área.
Passo 3
Aplicando a relação de escala usando os volumes dados.
- Calcular o fator de escala linear
:
- Portanto a potência no tanque ampliado é
- Substituindo
:
Cálculo numérico aproximado:
Arredondando de forma prática para três algarismos significativos,
Passo 4
Verificação das hipóteses (por que podemos assumir
aproximadamente constante):
- O uso de
com constante é válido quando a geometria é semelhante e o escoamento está no mesmo regime (tipicamente turbulento onde estabiliza). - Vamos checar qualitativamente o número de Reynolds do agitador, que é dado por
Com geometria padrão costuma-se usar
e altura do tanque
; com isso podemos estimar
a partir do volume e confirmar que os dois regimes são turbulentos, o que justifica
praticamente constante. (Essa verificação é um reforço didático; os detalhes numéricos dependem de suposições padrão de geometria, mas não alteram a escala final já encontrada.)
Resumo: as suposições do enunciado — “configurações geométricas padrão” e “manter velocidade periférica constante” — permitem usar a relação
. A verificação do Reynolds mostra que ambos os casos ficam em regime turbulento típico de agitação, então assumir
constante é razoável.
Passo 5
Conclusão numérica final: a potência consumida no tanque ampliado é aproximadamente
.