A
do efluente da saída de um processo de lodos ativados é igual a
. Se a DBO final
, qual seria o valor da
se o frasco tivesse sido incubado a
. Considere
.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
-
(DBO após 5 dias a ). - DBO final (DBO último, ou
) . - Constant de decaimento à temperatura de referência:
. - Fator de correção de temperatura:
. - Quer-se: o valor de
se a incubação tivesse sido feita a .
-
-
Observações importantes (que usarei na resolução):
- A DBO evolui segundo cinética de primeira ordem do consumo do oxigênio assimilável (modelo clássico usado em processos de tratamento).
- Vou precisar ajustar
de para usando a relação de temperatura com .
Passo 2
Explicar as fórmulas e conceitos básicos que vou usar (aula rápida e concretinha).
-
Definição de termos:
-
é a DBO último (DBO final, demanda assintótica) — aqui . -
é a constante de decomposição de primeira ordem (unidade: ). -
é o tempo de incubação em dias — aqui . -
é a DBO medida após dias.
-
-
Modelo de primeira ordem (explicando o porquê e a forma):
- Em muitos problemas de DBO assume-se que a fração biodegradável remanescente decai exponencialmente. A concentração remanescente de matéria degradável após tempo
é
ondeé o oxigênio ainda por demandar após dias. - A DBO consumida até o tempo
(ou DBO medida em dias) é a diferença entre o total disponível e o que resta:
- Aqui
e têm as unidades já explicadas; é a base dos logaritmos naturais.
- Em muitos problemas de DBO assume-se que a fração biodegradável remanescente decai exponencialmente. A concentração remanescente de matéria degradável após tempo
-
Correção de temperatura (fator
): - A dependência aproximada de
com a temperatura é dada por
- Isso diz: para cada grau acima de
multiplica-se por na potência correspondente.
- A dependência aproximada de
Passo 3
Verificação rápida (coerência dos dados) e uso da fórmula original a
.
- Com
, e , a DBO de 5 dias a prevista pelo modelo é
- Calcular o expoente:
- Logo
o que confere com o valor dado
. Assim os dados são coerentes com o modelo — bom sinal.
Passo 4
Calcular a constante
ajustada para
usando
.
- Aplicando a fórmula de correção de temperatura para
:
- Calcular
. Uma forma prática: (pode obter isso por tabela, calculadora ou aproximando com exponenciais; aqui uso o valor aproximado). - Portanto
- Interpretação rápida: a reação fica mais rápida com o aumento de temperatura, por isso
quase dobrou.
Passo 5
Calcular
a
usando
e
.
- Usando a fórmula
- Calcular o expoente com
:
- Assim
Passo 6
Interpretação final e dica prática para prova.
- Resultado: a DBO de 5 dias incubada a
é maior do que a medida a porque a taxa de decomposição aumenta com a temperatura; portanto mais DBO é demandada dentro dos mesmos 5 dias. - Dica prática: em provas faça sempre três passos: (i) calcule
com , (ii) calcule , (iii) calcule . Se precisar verificar coerência use o caso a como checagem (como fiz no passo 3).