A \mathrm{DBO}_{5,20} do efluente da saída de um processo de lodos ativados é igual a 70 \mathrm{mg} / \mathrm{L}. Se a DBO final 102 \mathrm{mg} / \mathrm{L}, \mathrm{k}_{20^{\circ} \mathrm{C}}=0,23 \mathrm{~d}^{-1} 1, qual seria o valor da \mathrm{DBO}_{5} se o frasco tivesse sido incubado a 30^{\circ} \mathrm{C}. Considere \Theta=1,08, \mathrm{k}_{1, \mathrm{~T} 1}=\mathrm{k}_{20^{\circ} \mathrm{C}}=0,23 \mathrm{~d}^{-1}.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • \mathrm{DBO}_{5,20} = 70\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L} (DBO após 5 dias a 20^\circ\mathrm{C}).
    • DBO final (DBO último, ou L_0) = 102\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}.
    • Constant de decaimento à temperatura de referência: k_{20^\circ\mathrm{C}} = 0,23\\ \mathrm{d}^{-1}.
    • Fator de correção de temperatura: \Theta = 1,08.
    • Quer-se: o valor de \mathrm{DBO}_5 se a incubação tivesse sido feita a 30^\circ\mathrm{C}.
  • Observações importantes (que usarei na resolução):
    • A DBO evolui segundo cinética de primeira ordem do consumo do oxigênio assimilável (modelo clássico usado em processos de tratamento).
    • Vou precisar ajustar k de 20^\circ\mathrm{C} para 30^\circ\mathrm{C} usando a relação de temperatura com \Theta.

Passo 2

Explicar as fórmulas e conceitos básicos que vou usar (aula rápida e concretinha).
  • Definição de termos:
    • L_0 é a DBO último (DBO final, demanda assintótica) — aqui L_0 = 102\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}.
    • k é a constante de decomposição de primeira ordem (unidade: \mathrm{d}^{-1}).
    • t é o tempo de incubação em dias — aqui t=5\\ \mathrm{d}.
    • \mathrm{DBO}_t é a DBO medida após t dias.
  • Modelo de primeira ordem (explicando o porquê e a forma):
    • Em muitos problemas de DBO assume-se que a fração biodegradável remanescente decai exponencialmente. A concentração remanescente de matéria degradável após tempo t é
    L_t = L_0 e^{-k t},
    onde L_t é o oxigênio ainda por demandar após t dias.
    • A DBO consumida até o tempo t (ou DBO medida em t dias) é a diferença entre o total disponível e o que resta:
    \mathrm{DBO}_t = L_0 - L_t = L_0\bigl(1 - e^{-k t}\bigr).
    • Aqui L_0 e k têm as unidades já explicadas; e é a base dos logaritmos naturais.
  • Correção de temperatura (fator \Theta):
    • A dependência aproximada de k com a temperatura é dada por
    k_T = k_{20^\circ\mathrm{C}} \,\Theta^{(T-20)}.
    • Isso diz: para cada grau acima de 20^\circ\mathrm{C} multiplica-se por \Theta na potência correspondente.

Passo 3

Verificação rápida (coerência dos dados) e uso da fórmula original a 20^\circ\mathrm{C}.
  • Com L_0 = 102\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}, k_{20} = 0,23\\ \mathrm{d}^{-1} e t=5\\ \mathrm{d}, a DBO de 5 dias a 20^\circ\mathrm{C} prevista pelo modelo é
\mathrm{DBO}_{5,20} = L_0\bigl(1 - e^{-k_{20}\cdot 5}\bigr).
  • Calcular o expoente: -k_{20}\cdot 5 = -0,23\cdot 5 = -1,15,
e^{-1,15} \approx 0,3166.
  • Logo \mathrm{DBO}_{5,20} = 102\bigl(1 - 0,3166\bigr) = 102\cdot 0,6834 \approx 69,8\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L},
o que confere com o valor dado 70\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}. Assim os dados são coerentes com o modelo — bom sinal.

Passo 4

Calcular a constante k ajustada para 30^\circ\mathrm{C} usando \Theta.
  • Aplicando a fórmula de correção de temperatura para T=30^\circ\mathrm{C}:
k_{30} = k_{20}\,\Theta^{(30-20)} = 0,23\cdot 1{,}08^{10}.
  • Calcular 1{,}08^{10}. Uma forma prática: 1{,}08^{10} \approx 2{,}158 (pode obter isso por tabela, calculadora ou aproximando com exponenciais; aqui uso o valor aproximado).
  • Portanto
k_{30} \approx 0,23\cdot 2{,}158 \approx 0,4963\\ \mathrm{d}^{-1}.
  • Interpretação rápida: a reação fica mais rápida com o aumento de temperatura, por isso k quase dobrou.

Passo 5

Calcular \mathrm{DBO}_5 a 30^\circ\mathrm{C} usando L_0 e k_{30}.
  • Usando a fórmula
\mathrm{DBO}_{5,30} = L_0\bigl(1 - e^{-k_{30}\cdot 5}\bigr).
  • Calcular o expoente com k_{30}\approx 0,4963\\ \mathrm{d}^{-1}: -k_{30}\cdot 5 \approx -0,4963\cdot 5 = -2,4815.
e^{-2,4815} \approx 0,0837.
  • Assim \mathrm{DBO}_{5,30} \approx 102\bigl(1 - 0,0837\bigr) = 102\cdot 0,9163 \approx 93,46\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}.

Passo 6

Interpretação final e dica prática para prova.
  • Resultado: a DBO de 5 dias incubada a 30^\circ\mathrm{C} é maior do que a medida a 20^\circ\mathrm{C} porque a taxa de decomposição aumenta com a temperatura; portanto mais DBO é demandada dentro dos mesmos 5 dias.
  • Dica prática: em provas faça sempre três passos: (i) calcule k_T com \Theta, (ii) calcule e^{-k_T t}, (iii) calcule L_0(1-e^{-k_T t}). Se precisar verificar coerência use o caso a 20^\circ\mathrm{C} como checagem (como fiz no passo 3).

Resposta

\mathrm{DBO}_{5,30} \approx 93{,}5\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}

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