14{ }^{\text {a }} Questão : Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \longrightarrow 0}\left[\frac{\ln (1+x) \cos (x)}{x+1}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x tende a 0 da expressão abaixo:
\lim_{x \to 0} \left[\frac{\ln(1+x)\cos(x)}{x+1}\right].
Informações dadas que vamos usar:
  • A função no numerador é o produto de \ln(1+x) e \cos(x).
  • O denominador é x+1.
  • O ponto de interesse é x=0.
  • Não há singularidade imediata em x=0 porque x+1 em x=0 vale 1 (não zero).

Passo 2

Vamos lembrar (de forma simples) duas propriedades sobre limites que usaremos:
  1. Se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M existem, então
\lim_{x\to a} [f(x)\,g(x)] = L\cdot M.
Isto é, o limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem).
2. Se \lim_{x\to a} h(x)=N com N\neq 0, então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{h(x)} = \frac{\lim_{x\to a} f(x)}{N},
desde que \lim_{x\to a} f(x) exista. Em palavras: podemos dividir os limites se o limite do denominador existe e é diferente de zero.
Essas regras são úteis porque transformam o cálculo de limites de expressões compostas em cálculos de limites mais simples.

Passo 3

Vamos calcular os limites simples das partes:
  • Para \ln(1+x) quando x\to 0: a função \ln(t) é contínua em t=1, então
\lim_{x\to 0} \ln(1+x) = \ln(1) = 0.
Explicando: continuidade significa que, ao aproximar o argumento 1+x de 1, o valor de \ln(1+x) aproxima de \ln(1).
  • Para \cos(x) quando x\to 0: \cos é contínua em 0, então
\lim_{x\to 0} \cos(x) = \cos(0) = 1.
  • Para x+1 quando x\to 0: é um polinômio (função contínua), logo
\lim_{x\to 0} (x+1) = 1.

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade do limite do produto ao numerador \ln(1+x)\cos(x). Como ambos os limites existem,
\lim_{x\to 0} \big[\ln(1+x)\cos(x)\big] = \big(\lim_{x\to 0} \ln(1+x)\big)\cdot\big(\lim_{x\to 0} \cos(x)\big) = 0\cdot 1 = 0.

Passo 5

Aplicamos a regra do quociente: o limite do denominador é 1, que é diferente de zero, então o limite total é o limite do numerador dividido por 1. Assim
\lim_{x\to 0} \left[\frac{\ln(1+x)\cos(x)}{x+1}\right] = \frac{\; \displaystyle\lim_{x\to 0}\ln(1+x)\cos(x)\;}{\displaystyle\lim_{x\to 0}(x+1)} = \frac{0}{1} = 0.

Passo 6

Para reforçar a intuição (opcional): usando aproximações para pequenos x,
\ln(1+x)\approx x\quad\text{e}\quad \cos(x)\approx 1,
logo o numerador se comporta como x quando x é pequeno, enquanto o denominador tende a 1. Isso também sugere que o quociente tende a 0. É só uma verificação alternativa, não necessária aqui.

Resposta

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