Questão : Calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
tende a
da expressão abaixo:
Informações dadas que vamos usar:
- A função no numerador é o produto de
e . - O denominador é
. - O ponto de interesse é
. - Não há singularidade imediata em
porque em vale (não zero).
Passo 2
Vamos lembrar (de forma simples) duas propriedades sobre limites que usaremos:
- Se
e existem, então
Isto é, o limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem).
2. Se com
, então
2. Se
desde que
exista. Em palavras: podemos dividir os limites se o limite do denominador existe e é diferente de zero.
Essas regras são úteis porque transformam o cálculo de limites de expressões compostas em cálculos de limites mais simples.
Passo 3
Vamos calcular os limites simples das partes:
- Para
quando : a função é contínua em , então
Explicando: continuidade significa que, ao aproximar o argumento
de
, o valor de
aproxima de
.
- Para
quando : é contínua em , então
- Para
quando : é um polinômio (função contínua), logo
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade do limite do produto ao numerador
. Como ambos os limites existem,
Passo 5
Aplicamos a regra do quociente: o limite do denominador é
, que é diferente de zero, então o limite total é o limite do numerador dividido por
. Assim
Passo 6
Para reforçar a intuição (opcional): usando aproximações para pequenos
,
logo o numerador se comporta como
quando
é pequeno, enquanto o denominador tende a
. Isso também sugere que o quociente tende a
. É só uma verificação alternativa, não necessária aqui.