Um pequeno exemplo para entender: para qualquer t, \lvert t^{2}\rvert=t^{2} porque t^{2}\ge 0.
Passo 3
Verifico o valor da forma ao substituir x=1. Calculo o numerador em x=1:
1^{3}-4\cdot1^{2}+5\cdot1-2 = 1-4+5-2 = 0.
O denominador em x=1 é
(1-1)^{2}=0.
Logo a expressão tem a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Quando aparece \tfrac{0}{0} é sinal de que devemos manipular algebricamente (fatorar, simplificar) antes de avaliar o limite.
Passo 4
Fatoro o numerador. Vou dividir o polinômio por (x-1) ou buscar raízes; como já vimos x=1 zera o polinômio, então (x-1) é fator. Fazendo a divisão sintética ou fatorando:
x^{3}-4x^{2}+5x-2=(x-1)(x^{2}-3x+2).
O quadrático x^{2}-3x+2 fatora como
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Portanto, reunindo,
x^{3}-4x^{2}+5x-2=(x-1)^{2}(x-2).
Explicação curta do procedimento: dividi o polinômio por (x-1) (pois x=1 é raiz) obtendo x^{2}-3x+2, que por inspeção tem raízes 1 e 2.
Passo 5
Reescrevo a razão usando as fatorações encontradas. Para x\neq 1 (próximo de 1, mas não igual) temos
Como estamos calculando um limite, podemos cancelar (x-1)^{2} porque a operação é válida para x\neq 1. Assim a expressão simplificada (válida para x perto de 1, exceto em 1) é
x-2.
Observação importante: cancelar fatores que anulam o denominador é legítimo quando se trata de limites, pois limítrofe só se preocupa com valores próximos (não necessariamente no ponto).
Passo 6
Agora calculo o limite da expressão simplificada. Como x-2 é um polinômio (função contínua), posso simplesmente substituir x=1:
\lim_{x\to 1} (x-2) = 1-2 = -1.
Portanto o limite existe e vale -1. Para reforçar: as aproximações pela esquerda e pela direita dão o mesmo resultado porque após simplificação sobra uma função contínua.