14{ }^{\text {a }} Questão : Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \longrightarrow 1} \frac{x^{3}-4 x^{2}+5 x-2}{\left|x^{2}-2 x+1\right|}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to 1} \frac{x^{3}-4x^{2}+5x-2}{\left|x^{2}-2x+1\right|}
Informações dadas:
  • A expressão do numerador é x^{3}-4x^{2}+5x-2.
  • A expressão do denominador é \left|x^{2}-2x+1\right|.
  • O ponto onde o limite deve ser calculado é x\to 1.
    O que se pede: encontrar o valor do limite, se ele existir.

Passo 2

Simplifico a expressão no denominador. Observa que
x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
Como um quadrado é sempre não negativo, temos a propriedade \lvert a^{2}\rvert=a^{2}. Portanto
\left|x^{2}-2x+1\right|=\left|(x-1)^{2}\right|=(x-1)^{2}.
Um pequeno exemplo para entender: para qualquer t, \lvert t^{2}\rvert=t^{2} porque t^{2}\ge 0.

Passo 3

Verifico o valor da forma ao substituir x=1. Calculo o numerador em x=1:
1^{3}-4\cdot1^{2}+5\cdot1-2 = 1-4+5-2 = 0.
O denominador em x=1 é
(1-1)^{2}=0.
Logo a expressão tem a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Quando aparece \tfrac{0}{0} é sinal de que devemos manipular algebricamente (fatorar, simplificar) antes de avaliar o limite.

Passo 4

Fatoro o numerador. Vou dividir o polinômio por (x-1) ou buscar raízes; como já vimos x=1 zera o polinômio, então (x-1) é fator. Fazendo a divisão sintética ou fatorando:
x^{3}-4x^{2}+5x-2=(x-1)(x^{2}-3x+2).
O quadrático x^{2}-3x+2 fatora como
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Portanto, reunindo,
x^{3}-4x^{2}+5x-2=(x-1)^{2}(x-2).
Explicação curta do procedimento: dividi o polinômio por (x-1) (pois x=1 é raiz) obtendo x^{2}-3x+2, que por inspeção tem raízes 1 e 2.

Passo 5

Reescrevo a razão usando as fatorações encontradas. Para x\neq 1 (próximo de 1, mas não igual) temos
\frac{x^{3}-4x^{2}+5x-2}{\left|x^{2}-2x+1\right|} = \frac{(x-1)^{2}(x-2)}{(x-1)^{2}}.
Como estamos calculando um limite, podemos cancelar (x-1)^{2} porque a operação é válida para x\neq 1. Assim a expressão simplificada (válida para x perto de 1, exceto em 1) é
x-2.
Observação importante: cancelar fatores que anulam o denominador é legítimo quando se trata de limites, pois limítrofe só se preocupa com valores próximos (não necessariamente no ponto).

Passo 6

Agora calculo o limite da expressão simplificada. Como x-2 é um polinômio (função contínua), posso simplesmente substituir x=1:
\lim_{x\to 1} (x-2) = 1-2 = -1.
Portanto o limite existe e vale -1. Para reforçar: as aproximações pela esquerda e pela direita dão o mesmo resultado porque após simplificação sobra uma função contínua.

Resposta

-1

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