Questão : Calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes que temos:
- A variável que tende a zero é
. - A letra
aparece na expressão; vamos tratar como um parâmetro (isto é, uma constante em relação a ). Se dependesse de (isto é, ), precisaríamos dessa relação para continuar; como a questão é bem formulada, assumimos constante. - A tarefa é calcular o valor do limite quando
se aproxima de .
Passo 2
Vamos simplificar a expressão algébrica no numerador antes de tomar o limite. Lembre que a identidade de expansão do quadrado é
onde
e
são variáveis quaisquer. Aqui usamos
e
. Aplicando a identidade:
Subtraindo
(do próprio numerador), obtemos
Passo 3
Agora simplificamos o que ficou no numerador, cancelando os
:
Para facilitar a divisão por
, fatoramos
no numerador:
Passo 4
Substituindo a fatoração na fração original e simplificando (válido para
, o que é permitido ao calcular limite pelo fato de considerarmos valores de
próximos de
, mas não exatamente
):
Expliquei: a divisão por
cancela o fator
do numerador desde que
; isso nos dá uma expressão mais simples cuja limite é fácil de calcular.
Passo 5
Agora aplicamos propriedades básicas de limites (linearidade: o limite da soma é a soma dos limites; o limite de uma constante é ela própria). Temos
Observação prática: se escolhermos um valor numérico para
, por exemplo
, o resultado seria
, o que confirma a fórmula.