14{ }^{\text {a }} Questão : Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \longrightarrow 0}\left[\frac{(y-x)^{2}-y^{2}}{x}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to 0}\left[\frac{(y-x)^{2}-y^{2}}{x}\right].
Informações relevantes que temos:
  • A variável que tende a zero é x.
  • A letra y aparece na expressão; vamos tratar y como um parâmetro (isto é, uma constante em relação a x). Se y dependesse de x (isto é, y=y(x)), precisaríamos dessa relação para continuar; como a questão é bem formulada, assumimos y constante.
  • A tarefa é calcular o valor do limite quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão algébrica no numerador antes de tomar o limite. Lembre que a identidade de expansão do quadrado é
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2},
onde a e b são variáveis quaisquer. Aqui usamos a=y e b=x. Aplicando a identidade:
(y-x)^{2}=y^{2}-2yx+x^{2}.
Subtraindo y^{2} (do próprio numerador), obtemos
(y-x)^{2}-y^{2}=(y^{2}-2yx+x^{2})-y^{2}.

Passo 3

Agora simplificamos o que ficou no numerador, cancelando os y^{2}:
(y-x)^{2}-y^{2}=-2yx+x^{2}.
Para facilitar a divisão por x, fatoramos x no numerador:
-2yx+x^{2}=x(-2y+x).

Passo 4

Substituindo a fatoração na fração original e simplificando (válido para x\neq 0, o que é permitido ao calcular limite pelo fato de considerarmos valores de x próximos de 0, mas não exatamente 0):
\frac{(y-x)^{2}-y^{2}}{x}=\frac{x(-2y+x)}{x}=-2y+x.
Expliquei: a divisão por x cancela o fator x do numerador desde que x\neq0; isso nos dá uma expressão mais simples cuja limite é fácil de calcular.

Passo 5

Agora aplicamos propriedades básicas de limites (linearidade: o limite da soma é a soma dos limites; o limite de uma constante é ela própria). Temos
\lim_{x\to 0}(-2y+x)=\lim_{x\to 0}(-2y)+\lim_{x\to 0}x=-2y+0=-2y.
Observação prática: se escolhermos um valor numérico para y, por exemplo y=3, o resultado seria -2\cdot 3=-6, o que confirma a fórmula.

Resposta

-2y

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