14{ }^{\text {a }} Questão : Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \longrightarrow 0}\left[\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{|x|}\right]

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{|x|}\right].
Informações dadas:
  • A expressão envolve |x| (valor absoluto) e x^{2}.
  • A função não está definida em x=0 (há divisão por zero), logo estudamos o comportamento quando x se aproxima de 0.
  • Precisamos decidir se o limite é um número finito, ou se diverge para +\infty ou -\infty, ou se não existe.

Passo 2

Vamos usar uma identidade simples com valor absoluto: para todo x,
x^{2}=|x|^{2},
portanto podemos reescrever a expressão usando somente |x|. Assim,
\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{|x|}=\frac{1}{|x|^{2}}-\frac{1}{|x|}.
Isso é útil porque |x| é sempre não negativo e, para x\neq0, temos |x|>0.

Passo 3

Fazer a substituição t=|x| simplifica a análise. Note que quando x\to 0 temos t\to 0^{+} (ou seja, t>0 e tende a zero). Substituindo:
\frac{1}{|x|^{2}}-\frac{1}{|x|}=\frac{1}{t^{2}}-\frac{1}{t}.
Colocando em um único quociente:
\frac{1}{t^{2}}-\frac{1}{t}=\frac{1-t}{t^{2}}.
Agora só precisamos estudar o limite quando t\to 0^{+} de \dfrac{1-t}{t^{2}}.

Passo 4

Analise o comportamento de \dfrac{1-t}{t^{2}} quando t\to 0^{+}.
  • O numerador 1-t tende a 1 quando t\to 0^{+}.
  • O denominador t^{2} tende a 0^{+} (é sempre positivo e vai para zero).
Para tornar isso mais rigoroso, escolha um intervalo pequeno: para 0<t<\tfrac{1}{2} temos 1-t>\tfrac{1}{2}. Então, para tais t,
\frac{1-t}{t^{2}}>\frac{1/2}{t^{2}}.
Mas \dfrac{1}{t^{2}}\to +\infty quando t\to 0^{+}, logo \dfrac{1-t}{t^{2}} também tende a +\infty. Em palavras: o numerador fica próximo de 1 enquanto o denominador vai para zero positivo muito rápido, fazendo o quociente crescer sem limite.

Passo 5

Voltando à variável original x: como t=|x|, o comportamento para x\to 0^{+} e para x\to 0^{-} é o mesmo (ambos correspondem a t\to 0^{+}). Assim as duas limites unilaterais valem +\infty. Portanto o limite bilateral quando x\to 0 diverge para +\infty (não existe como número real, mas diverge positivamente).

Resposta

+\infty

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