Questão : Calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A expressão envolve
(valor absoluto) e . - A função não está definida em
(há divisão por zero), logo estudamos o comportamento quando se aproxima de . - Precisamos decidir se o limite é um número finito, ou se diverge para
ou , ou se não existe.
Passo 2
Vamos usar uma identidade simples com valor absoluto: para todo
,
portanto podemos reescrever a expressão usando somente
. Assim,
Isso é útil porque
é sempre não negativo e, para
, temos
.
Passo 3
Fazer a substituição
simplifica a análise. Note que quando
temos
(ou seja,
e tende a zero). Substituindo:
Colocando em um único quociente:
Agora só precisamos estudar o limite quando
de
.
Passo 4
Analise o comportamento de
quando
.
- O numerador
tende a quando . - O denominador
tende a (é sempre positivo e vai para zero).
Para tornar isso mais rigoroso, escolha um intervalo pequeno: para
temos
. Então, para tais
,
Mas
quando
, logo
também tende a
. Em palavras: o numerador fica próximo de
enquanto o denominador vai para zero positivo muito rápido, fazendo o quociente crescer sem limite.
Passo 5
Voltando à variável original
: como
, o comportamento para
e para
é o mesmo (ambos correspondem a
). Assim as duas limites unilaterais valem
. Portanto o limite bilateral quando
diverge para
(não existe como número real, mas diverge positivamente).