14{ }^{\text {a }} Questão : Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \longrightarrow 0}\left[\frac{(y-x)^{n}-y^{n}}{x}\right], onde n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to 0}\left[\frac{(y-x)^{n}-y^{n}}{x}\right],
onde n\in\mathbb{N}. As informações relevantes são:
  • x é a variável que tende a 0.
  • y é tratado como uma constante em relação a x (ou seja, não depende de x).
  • n é um número natural (vamos tratar separadamente o caso n=0 e o caso n\ge 1).
    A pergunta é: qual é o valor desse limite (se existir)?

Passo 2

Motivação e estratégia (sem resolver ainda): a expressão é uma diferença dividida por x; uma forma direta de atacar é usar o teorema do binômio para expandir (y-x)^n e então simplificar. Isso nos permite escrever o numerador como soma de termos em potências de x, fatorar x e ver o que sobra quando x\to 0. Vou seguir esse caminho passo a passo.

Passo 3

Vou aplicar o teorema do binômio para (y-x)^n. O teorema do binômio diz que, para n\in\mathbb{N},
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}.
Aqui tomo a=y e b=-x. Então
(y-x)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}y^{\,n-k}(-x)^{k}.
Escrevendo os primeiros termos dessa soma temos, explicitamente,
(y-x)^n = y^{n} + \binom{n}{1}y^{n-1}(-x) + \binom{n}{2}y^{n-2}(-x)^{2} + \cdots + (-x)^{n}.

Passo 4

Subtraio y^{n} (que aparece no numerador) e escrevo o numerador:
(y-x)^{n}-y^{n} = \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}y^{\,n-k}(-x)^{k}.
Cada termo dessa soma tem fator x^{k} com k\ge 1. Posso então fatorar x do numerador:
(y-x)^{n}-y^{n} = x\cdot\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}y^{\,n-k}(-1)^{k}x^{\,k-1}.

Passo 5

Divido pelo x (que aparece no denominador da fração original) e obtenho
\frac{(y-x)^{n}-y^{n}}{x} = \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}y^{\,n-k}(-1)^{k}x^{\,k-1}.
Agora analiso o limite quando x\to 0. Para k\ge 2 cada termo tem fator x^{k-1} com expoente positivo e, portanto, tende a 0 quando x\to 0. O único termo que não contém fator x é o de k=1. Vamos escrever esse termo isoladamente: para k=1,
\binom{n}{1}y^{\,n-1}(-1)^{1}x^{\,1-1} = -n\,y^{\,n-1}.
Portanto, ao tomar o limite x\to 0, todos os termos com k\ge 2 desaparecem e sobra apenas o termo k=1.

Passo 6

Concluo que, para n\ge 1,
\lim_{x\to 0}\frac{(y-x)^{n}-y^{n}}{x} = -n\,y^{\,n-1}.
Como verificação rápida: para n=1 temos \frac{(y-x)-y}{x}=\frac{-x}{x}=-1, e a fórmula dá -1\cdot y^{0}=-1, consistente. Para n=2 temos \frac{(y-x)^{2}-y^{2}}{x}=\frac{y^{2}-2yx+x^{2}-y^{2}}{x}=\frac{-2yx+x^{2}}{x}=-2y+x\to -2y, consistente com a fórmula -2y.

Passo 7

Trato o caso n=0 separadamente: se n=0 então (y-x)^{0}-y^{0}=1-1=0 para todo x, logo a razão é 0/x=0 (para x\neq 0) e o limite é 0. A fórmula -n y^{n-1} não é apropriada para n=0 por questões de expoente n-1=-1, então é melhor anotar o caso n=0 à parte.

Resposta

Para n=0: 0
Para n\ge 1: -n\,y^{\,n-1}

Exercícios relacionados