Questão : Calcule o limite, se existir.
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
onde
. As informações relevantes são:
-
é a variável que tende a . -
é tratado como uma constante em relação a (ou seja, não depende de ). -
é um número natural (vamos tratar separadamente o caso e o caso ).
A pergunta é: qual é o valor desse limite (se existir)?
Passo 2
Motivação e estratégia (sem resolver ainda): a expressão é uma diferença dividida por
; uma forma direta de atacar é usar o teorema do binômio para expandir
e então simplificar. Isso nos permite escrever o numerador como soma de termos em potências de
, fatorar
e ver o que sobra quando
. Vou seguir esse caminho passo a passo.
Passo 3
Vou aplicar o teorema do binômio para
. O teorema do binômio diz que, para
,
Aqui tomo
e
. Então
Escrevendo os primeiros termos dessa soma temos, explicitamente,
Passo 4
Subtraio
(que aparece no numerador) e escrevo o numerador:
Cada termo dessa soma tem fator
com
. Posso então fatorar
do numerador:
Passo 5
Divido pelo
(que aparece no denominador da fração original) e obtenho
Agora analiso o limite quando
. Para
cada termo tem fator
com expoente positivo e, portanto, tende a
quando
. O único termo que não contém fator
é o de
. Vamos escrever esse termo isoladamente: para
,
Portanto, ao tomar o limite
, todos os termos com
desaparecem e sobra apenas o termo
.
Passo 6
Concluo que, para
,
Como verificação rápida: para
temos
, e a fórmula dá
, consistente. Para
temos
, consistente com a fórmula
.
Passo 7
Trato o caso
separadamente: se
então
para todo
, logo a razão é
(para
) e o limite é
. A fórmula
não é apropriada para
por questões de expoente
, então é melhor anotar o caso
à parte.
Resposta
Para
:
Para :
Para