15a Questão Determine a para que \mathcal{L} exista, e calcule o limite.
\lim _{x \longrightarrow 0} \frac{x^{a}}{|x|}, onde a \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar para quais valores de a a seguinte limite existe (no sentido usual, limite finito ao aproximar x de 0 por ambos os lados) e calcular esse limite:
\lim_{x\to 0} \frac{x^{a}}{|x|},
onde foi dado que a\in\mathbb{N}. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão depende de x e de a.
  • Aparece |x|, o que costuma exigir considerar x positivo e x negativo separadamente.
  • Queremos saber para quais a (naturais) o limite existe e qual é o seu valor.

Passo 2

Primeira ideia prática (sem resolver ainda): como |x|\) tem definição por partes, vamos separar o cálculo em duas regiões: \(x>0\) (direita) e \(x<0\) (esquerda), calcular os limites laterais e verificar se coincidem. Lembre-se que \[|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x>0,\\[4pt] - x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Não mexemos com (x=0] diretamente porque o limite é sobre valores diferentes de zero que se aproximam de zero.]

Passo 3

Simplificação da função para x>0\). Usando \(|x|=x\) quando \(x>0\), temos para \(x>0\): \[\frac{x^{a}}{|x|} = \frac{x^{a}}{x} = x^{\,a-1}.
Então o limite pela direita é
\lim_{x\to 0^+}\frac{x^{a}}{|x|} = \lim_{x\to 0^+} x^{\,a-1}.
Agora aplicamos uma regra simples sobre potências: para k\in\mathbb{Z},
\lim_{x\to 0^+} x^{k} = \begin{cases} 0, & \text{se } k>0,\\[4pt] 1, & \text{se } k=0,\\[4pt] +\infty, & \text{se } k<0. \end{cases}
Aqui k=a-1\]. Portanto: - Se \(a-1>0 (ou seja, a\ge 2), \lim_{x\to 0^+} x^{a-1}=0.
- Se a-1=0 (ou seja, a=1), \lim_{x\to 0^+} x^{a-1}=1.
- Se a-1<0 (ou seja, a=0, caso sua convenção de \mathbb{N} inclua 0), \lim_{x\to 0^+} x^{a-1}=+\infty.]

Passo 4

Simplificação da função para x<0. Usando |x|=-x quando x<0, temos para x<0:
\frac{x^{a}}{|x|} = \frac{x^{a}}{-x} = -\,x^{\,a-1}.
Logo o limite pela esquerda é
\lim_{x\to 0^-}\frac{x^{a}}{|x|} = \lim_{x\to 0^-} -\,x^{\,a-1}.
Para analisar esse limite, note que x^{a-1} tende a 0, 1 ou diverge conforme a-1 ser positivo, zero ou negativo, exatamente como no caso da direita; o sinal extra ``(-)’’ só pode trocar o sinal do limite quando este for finito diferente de zero. Assim:
  • Se a-1>0 (ou seja, a\ge 2), então x^{a-1}\to 0 quando x\to 0^-, portanto -x^{a-1}\to 0.
  • Se a-1=0 (ou seja, a=1), então -x^{a-1} = -1 para todo x\neq0, então \lim_{x\to 0^-} -x^{a-1} = -1.
  • Se a-1<0 (ou seja, a=0, se for permitido), então -x^{a-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}. Para x\to 0^-, \frac{1}{x}\to -\infty e então -\frac{1}{x}\to +\infty. Ou seja, diverge para +\infty.)

Passo 5

Comparação dos limites laterais para decidir existência do limite total (duas-sided).
  • Para a\ge 2: temos \lim_{x\to 0^+}\frac{x^{a}}{|x|}=0 e \lim_{x\to 0^-}\frac{x^{a}}{|x|}=0. Como os limites laterais coincidem e são finitos, o limite bilateral existe e vale 0.
  • Para a=1: temos \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{|x|}=1 e \lim_{x\to 0^-}\frac{x}{|x|}=-1. Os laterais são diferentes, logo o limite bilateral não existe.
  • Para a=0 (apenas se \mathbb{N} for tomada com 0): ambos os limites laterais divergem para +\infty, então não existe limite finito (dizemos que o limite diverge para +\infty).

Passo 6

Resumo rápido para usar na prova: fatorar sempre x^{a}/|x| = x^{a-1} quando x>0 e = -x^{a-1} quando x<0. Em seguida avalie x^{a-1} ao ir para 0. Se a potência for positiva (expoente \ge 1) você tende a 0; se o expoente for 0 1 (ou -1 com o sinal), e se expoente negativo diverge.

Resposta

Os valores de a para os quais o limite existe (finito) são a\ge 2, e nesse caso
\lim_{x\to 0}\frac{x^{a}}{|x|}=0.
Para a=1 o limite não existe (lado direito 1, lado esquerdo -1). Se a convenção de \mathbb{N} incluir 0, para a=0 o limite diverge para +\infty.

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