15a Questão Determine
para que
exista, e calcule o limite.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar para quais valores de
a expressão
existe (no sentido de limite real finito) e, quando existir, calcular esse limite.
Informações dadas: a função considerada é e o ponto de interesse é
.
Informações dadas: a função considerada é
Passo 2
Primeiro precisamos lembrar qual é o domínio da função logarítmica natural:
está definida apenas para
. Isso é essencial — se o argumento do
for não positivo (zero ou negativo), a função não é uma função real ali. Portanto, para que
faça sentido (como número real) para
suficientemente próximo de
, devemos ter que
quando
estiver perto de
.
Passo 3
Vamos traduzir a condição do passo anterior em uma condição sobre
. Queremos um intervalo em torno de
(ponto de limite) onde, para todo
do intervalo,
. Se
, escolha por exemplo
. Para todo
com
temos
logo
para todo
suficientemente próximo de
. Assim se
a função
está definida em uma vizinhança de
.
Se , então
e para
próximo de
com
a expressão
existe mas tende a
; para
a expressão é indefinida (não real). Se
, para todo raio pequeno ao redor de
existirão pontos
tais que
, então a função não está definida numa vizinhança de
. Portanto, a única possibilidade de existir um limite real finito é quando
.
Se
Passo 4
Agora usamos uma propriedade fundamental: a função
é contínua em todo ponto
. Explicando a ideia da continuidade de forma simples: dizer que
é contínua em
significa que, se uma sequência (ou variável)
tende para
, então
tende para
. Aqui tomamos
. Como claramente
e como
é contínua em
(desde que
), podemos trocar o limite com a aplicação do logaritmo:
Isso dá o valor do limite quando
.
Passo 5
Para sermos completos, analisemos os outros casos brevemente:
- Se
: para pequeno e . Assim não existe limite real finito quando (há uma divergência para pela direita e indefinição pela esquerda). - Se
: para qualquer intervalo ao redor de existem tais que , então não está definido como número real arbitrariamente perto de ; portanto o limite real não existe.
Passo 6
Conclusão lógica: a condição necessária e suficiente para a existência do limite real finito
é
. Nesse caso o valor do limite é
.
Resposta
Condição para existir (limite real finito):
Valor do limite quando :
Valor do limite quando