15a Questão Determine a para que \mathcal{L} exista, e calcule o limite.
\lim _{x \longrightarrow 0} \ln (a+x)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar para quais valores de a a expressão \mathcal{L}=\lim_{x\to 0}\ln(a+x) existe (no sentido de limite real finito) e, quando existir, calcular esse limite.
Informações dadas: a função considerada é x\mapsto \ln(a+x) e o ponto de interesse é x\to 0.

Passo 2

Primeiro precisamos lembrar qual é o domínio da função logarítmica natural: \ln(t) está definida apenas para t>0. Isso é essencial — se o argumento do \ln for não positivo (zero ou negativo), a função não é uma função real ali. Portanto, para que \ln(a+x) faça sentido (como número real) para x suficientemente próximo de 0, devemos ter que a+x>0 quando x estiver perto de 0.

Passo 3

Vamos traduzir a condição do passo anterior em uma condição sobre a. Queremos um intervalo em torno de 0 (ponto de limite) onde, para todo x do intervalo, a+x>0. Se a>0, escolha por exemplo \delta = a. Para todo x com |x|<\delta temos
a+x \ge a-|x|>a-\delta =0,
logo a+x>0 para todo x suficientemente próximo de 0. Assim se a>0 a função \ln(a+x) está definida em uma vizinhança de 0.
Se a=0, então a+x=x e para x próximo de 0 com x>0 a expressão \ln(x) existe mas tende a -\infty; para x<0 a expressão é indefinida (não real). Se a<0, para todo raio pequeno ao redor de 0 existirão pontos x tais que a+x\le 0, então a função não está definida numa vizinhança de 0. Portanto, a única possibilidade de existir um limite real finito é quando a>0.

Passo 4

Agora usamos uma propriedade fundamental: a função \ln(t) é contínua em todo ponto t>0. Explicando a ideia da continuidade de forma simples: dizer que \ln é contínua em t=a significa que, se uma sequência (ou variável) t(x) tende para a, então \ln(t(x)) tende para \ln(a). Aqui tomamos t(x)=a+x. Como claramente
\lim_{x\to 0}(a+x)=a,
e como \ln é contínua em a (desde que a>0), podemos trocar o limite com a aplicação do logaritmo:
\lim_{x\to 0}\ln(a+x)=\ln\Big(\lim_{x\to 0}(a+x)\Big)=\ln(a).
Isso dá o valor do limite quando a>0.

Passo 5

Para sermos completos, analisemos os outros casos brevemente:
  • Se a=0: para x>0 pequeno \ln(a+x)=\ln(x) e \lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty. Assim não existe limite real finito quando a=0 (há uma divergência para -\infty pela direita e indefinição pela esquerda).
  • Se a<0: para qualquer intervalo ao redor de 0 existem x tais que a+x\le 0, então \ln(a+x) não está definido como número real arbitrariamente perto de 0; portanto o limite real não existe.

Passo 6

Conclusão lógica: a condição necessária e suficiente para a existência do limite real finito \lim_{x\to 0}\ln(a+x) é a>0. Nesse caso o valor do limite é \ln(a).

Resposta

Condição para existir (limite real finito): a>0
Valor do limite quando a>0: \ln(a)

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